使用切比雪夫多项式，我们可以使用CGAL和CORE库精确地计算sin（2*Pi/n），就像下面的代码一样：
#include <CGAL/CORE_Expr.h>
#include <CGAL/Polynomial.h>
#include <CGAL/number_utils.h>
//return sin(theta) and cos(theta) for theta = 2pi/n
static std::pair<AA, AA> sin_cos(unsigned short n) {
// We actually use -x instead of x since root_of will give the k-th
// smallest root but we want the second largest one without counting.
Polynomial x(CGAL::shift(Polynomial(-1), 1));
Polynomial twox(2*x);
Polynomial a(1), b(x);
for (unsigned short i = 2; i <= n; ++i) {
Polynomial c = twox*b - a;
a = b;
b = c;
}
a = b - 1;
AA cos = -CGAL::root_of(2, a.begin(), a.end());
AA sin = CGAL::sqrt(AA(1) - cos*cos);
return std::make_pair(sin, cos);
}
但是，如果我想精确地计算sin（2*m*Pi/n），其中m和n是整数，那么我应该使用的多项式公式是什么？谢谢
（部分解决方案）
这本质上是将单位根的实部和虚部计算为代数数。让我们表示w（m）=exp（2*pi*I*m/n）。那么，w（m）本身就是En（x）=x^n-1的复根。
你需要找到Re（w（m））的定义多项式。结果是找到这样一个多项式的工具：2*Re（w（m））是Res（En（x-y），En（y）；y）
对于为什么会出现这种情况的解释：注意2*Re（w（m））=w（m）+conj（w（m）），并且En的复根是共轭对；因此，conj（w（m））也是En的根。现在松散地说，En（y）部分"约束"y为En的任何（复数）根，并且将其与第一个参数相结合允许x取任何复数值，使得x-y也是En的根。因此，一个可能的赋值是y=conj（w（m））和x-y=w（m
CGAL可以计算多元多项式的结果，所以你可以计算这个结果，你只需要选择正确的实数根。（最大的显然是w（0）=1，最小的是2*Re（w（floor（n/2））。）
不幸的是，结果的复杂度很高（n^2），并且结果计算将不是你见过的最快的运算。此外，您将为密集多项式付费，尽管您的实例非常稀疏和结构化。YMMV；我不知道你的用例，也不知道你是否需要更高的学位
然而，我在一个计算机代数系统中做了一些测试，我发现结果分裂成更合理大小的因子，并且它的所有实根实际上只属于一个简单得多的次底多项式（n/2）+1。（没有证据，只是观察。）
我不知道有什么直接的公式可以写下这个因素，我也不想对此进行猜测。但也许mathoverflow或math.stackexchange的一些人可以帮忙？
编者按：这里至少有一个递归公式的猜测
我为结果多项式的有效因子写s（n，x），该多项式包含除0以外的所有实数根。这意味着s（n，x）具有m的所有值2*Re（w（m））！=n/4、3*n/4作为根。
s（0，x）=0
s（1，x）=x-2
s（2，x）=x^2-4
s（3，x）=x^2-x-2
s（4，x）=x^2-4
s（5，x）=x^3-x^2-3*x+2
s（6，x）=x^4-5*x^2+4
s（7，x）=x^4-x^3-4*x^2+3*x+2
s（8，x）=x^4-6*x^2+8
s（n，x）=（x^2-2）*s（n-4，x）-s（n-8，x）
正在等待证据。。。