基于GSL的QR分解的零空间基

Question

我正试图使用GSL来获得一个相对较大的矩阵A^T的零空间的基。到目前为止，我一直在提取SVD中对应于消失奇异值的右奇异向量，但对于我感兴趣的矩阵大小来说，这变得太慢了

我知道在A的QR分解中，空空间可以被提取为Q矩阵的最后一列m-r，其中r是A的秩，但我不确定秩揭示分解是如何工作的。

这是我第一次尝试使用gsl_linalg_QR_decomp:

int m = 4;
int n = 3;
gsl_matrix* A  = gsl_matrix_calloc(m,n);
gsl_matrix_set(A, 0,0, 3);gsl_matrix_set(A, 0,1, 6);gsl_matrix_set(A, 0,2, 1);
gsl_matrix_set(A, 1,0, 1);gsl_matrix_set(A, 1,1, 2);gsl_matrix_set(A, 1,2, 1);
gsl_matrix_set(A, 2,0, 1);gsl_matrix_set(A, 2,1, 2);gsl_matrix_set(A, 2,2, 1);
gsl_matrix_set(A, 3,0, 1);gsl_matrix_set(A, 3,1, 2);gsl_matrix_set(A, 3,2, 1);
std::cout<<"A:"<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<n;j++) printf(" %5.2f",gsl_matrix_get(A,i,j)); std::cout<<std::endl;}
gsl_matrix* Q = gsl_matrix_alloc(m,m);
gsl_matrix* R = gsl_matrix_alloc(m,n);
gsl_vector* tau = gsl_vector_alloc(std::min(m,n));
gsl_linalg_QR_decomp(A, tau);
gsl_linalg_QR_unpack(A, tau, Q, R);
std::cout<<"Q:"<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<m;j++) printf(" %5.2f",gsl_matrix_get(Q,i,j)); std::cout<<std::endl;}
std::cout<<"R:"<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<n;j++) printf(" %5.2f",gsl_matrix_get(R,i,j)); std::cout<<std::endl;}

此输出

A:
  3.00  6.00  1.00
  1.00  2.00  1.00
  1.00  2.00  1.00
  1.00  2.00  1.00
Q:
 -0.87 -0.29  0.41 -0.00
 -0.29  0.96  0.06 -0.00
 -0.29 -0.04 -0.64 -0.71
 -0.29 -0.04 -0.64  0.71
R:
 -3.46 -6.93 -1.73
  0.00  0.00  0.58
  0.00  0.00 -0.82
  0.00  0.00  0.00

但我不知道如何从中计算秩r。我的第二次尝试使用gsl_linalg_QRPT_decomp，将最后一部分替换为

gsl_vector* tau = gsl_vector_alloc(std::min(m,n));
gsl_permutation* perm = gsl_permutation_alloc(n);
gsl_vector* norm = gsl_vector_alloc(n);
int* sign = new int(); *sign = 1;
gsl_linalg_QRPT_decomp2(A, Q, R, tau, perm, sign, norm );
std::cout<<"Q:"<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<m;j++) printf(" %5.2f",gsl_matrix_get(Q,i,j)); std::cout<<std::endl;}
std::cout<<"R:"<<endl;
for(int i=0;i<m;i++){ for(int j=0;j<n;j++) printf(" %5.2f",gsl_matrix_get(R,i,j)); std::cout<<std::endl;}
std::cout<<"Perm:"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++) std::cout<<" "<<gsl_permutation_get(perm,i);

导致

Q:
 -0.87  0.50  0.00  0.00
 -0.29 -0.50 -0.58 -0.58
 -0.29 -0.50  0.79 -0.21
 -0.29 -0.50 -0.21  0.79
R:
 -6.93 -1.73 -3.46
  0.00 -1.00  0.00
  0.00  0.00  0.00
  0.00  0.00  0.00
Perm:
 1 2 0

这里，我相信秩是R中非零对角线元素的数量，但我不确定从Q中提取哪些元素。我应该采取哪种方法？

Answer 1

对于4×3 A，"空空间"将由3维向量组成，而A上的QR分解只提供4维向量。（当然，您可以将其推广到大小为M×N的A，其中M>N。）

因此，取A的转置的QR分解，其Q现在是3×3。

在IPython中使用Python/Numpy绘制过程（对不起，我似乎不知道如何使用PyGSL调用gsl_linalg_QR_decomp）：

In [16]: import numpy as np
In [17]: A = np.array([[3.0, 6, 1], [1.0, 2, 1], [1.0, 2, 1], [1.0, 2, 1]])
In [18]: Q, R = np.linalg.qr(A.T)  # <---- A.T means transpose(A)
In [19]: np.diag(R)
Out[19]: array([ -6.78232998e+00,   6.59380473e-01,   2.50010468e-17])
In [20]: np.round(Q * 1000) / 1000 # <---- Q to 3 decimal places
Out[20]:
array([[-0.442, -0.066, -0.894],
       [-0.885, -0.132,  0.447],
       [-0.147,  0.989,  0.   ]])

第19个输出（即Out[19]，np.diag(R)的结果）告诉我们A的列链接是2。看看Out[20]的第三列（Q到小数点后三位），我们看到返回的答案是正确的：[-0.894, 0.447, 0]与[1, 0.5, 0]成比例，我们知道这是正确的，因为A的前两列是线性相关的。

你能用更大的矩阵来检查transpose(A)的QR分解是否给了你与当前SVD方法等效的零空间吗？