如何用平移、旋转和缩放来反转一个仿射变换

Question

我有一个带有平移、旋转和缩放组件的4x4矩阵，但没有剪切或其他转换。怎么求它的逆矩阵?我正在使用c++中的特征库

Answer 1

这是很棘手的，因为操作需要按正确的顺序执行:

template<class Derived>
Matrix4f AffineInverse(const Eigen::MatrixBase<Derived>& mat)
{
    Matrix3f RotSclInv = (
        mat.block<3, 3>(0, 0).array().rowwise()
        / mat.block<3, 3>(0, 0).colwise().squaredNorm().array() //scaling
        ).transpose(); //rotation
    return (Matrix4f(4,4) << RotSclInv
        , -RotSclInv * mat.block<3, 1>(0, 3) //translation
        , 0, 0, 0, 1).finished();
}

如答案所述，左上角3x3块的倒数可以单独计算:

inv ([ A b ]) = [inv(A)  -inv(A)*b]
    ([ 0 1 ])   [  0          1   ]

左上角块的关键洞察是缩放和旋转等于正交(旋转)矩阵Q乘以对角(缩放)矩阵D: Q*D。要反转它，做一些线性代数:

  inv(Q*D)
= transp(transp(inv(Q*D)))
= transp(inv(transp(Q*D)))
= transp(inv(transp(D)*transp(Q)))

(见此证明)，并且由于D是对角的，Q是正交的，

= transp(inv(D*inv(Q)))
= transp(Q*inv(D))).

Q*inv(D)很容易找到:因为在Q*D中，每一列都是Q(单位向量)的一列乘以D(标量)的一项，因此将每一列除以其范数的平方就足够了。这就是函数的前三行所做的。

完全写成线性代数形式:

inv ([ Q*D b ]) = [transp(Q*inv(D))  -transp(Q*inv(D))*b]
    ([ 0   1 ])   [       0                 1           ]