求解矩阵方程在矩阵实验室

Question

我有一个类型为c = Ax + By的方程，其中c、x和y是维度为50,000 X 1的向量，A和B是维度为50,000 X 50,000的矩阵。

在

Matlab 中有什么方法可以找到矩阵A和B当已知c、x和y时？

我有大约 100,000 个c、x和y样本。 A和B对所有人都是一样的。

Answer 1

设X是你得到的所有 100,000 个x的集合（这样X的第 i 列等于第 x_i 个向量）。
以同样的方式，我们可以将Y和C分别定义为 y s 和 c s 的 2D 集合。

您希望解决的是A和B，以便

C = AX + BY

你有 2 * 50,000^2 个未知数（A 和 B 的所有条目）和numel(C)方程。

因此，如果您拥有的数据向量数量为 100,000，则您只有一个解决方案（最多线性相关样本）。如果您有超过 100,000 个样本，您可以寻求最小二乘解决方案。

重写：

C = [A B] * [X ; Y]  ==>  [X' Y'] * [A';B'] = C'

所以，我想

[A' ; B'] = pinv( [X' Y'] ) * C'

在 matlab 中：

ABt = pinv( [X' Y'] ) * C';
A = ABt(1:50000,:)';
B = ABt(50001:end,:)';

如果我错了，请纠正我...

编辑：
这里似乎对维度大惊小怪。所以，我会尽量把它说清楚。

型号：有两个（未知）矩阵A和B，每个矩阵的大小为 50,000x50,000（总共 5e9 未知）。
观测值是向量的三元组：（x、y、c）每个这样的向量有50,000个元素（每个样本总共有150,000个观测点）。 基础模型假设是观察值是由此模型中的c = Ax + By生成的。
任务：给定n观测值（即向量{（x_i，y_i，c_i）}_i=1..n n的三元组），任务是发现A和B。

现在，每个样本（x_i、y_i、c_i）在未知A和B中诱导出50,000个形式为c_i = Ax_i + By_i的方程。如果样本n数大于 100,000，则存在超过 50,000 * 100,000 （> 5e9） 方程，并且系统过度约束。

为了以矩阵形式编写系统，我建议将所有观察结果堆叠到矩阵中：

• 大小为 50,000 x n 的矩阵X及其第 i 列等于观察到的x_i
• 大小为 50,000 x n 的矩阵Y及其第 i 列等于观察到的y_i
• 大小为 50,000 x n 的矩阵C及其第 i 列等于观察到的c_i

使用这些矩阵，我们可以将模型编写为：

C = A*X + B*Y

我希望这能澄清一些问题。

感谢您@Dan和@woodchips的关注和启发性评论。

编辑 （2）：
将以下代码提交到八度。在这个例子中，我只使用 2 个维度，而不是 50,000 个维度，而不是n=100,000观察结果，我选择了n=100：

n = 100;
A = rand(2,2);
B = rand(2,2);
X = rand(2,n);
Y = rand(2,n);
C = A*X + B*Y + .001*randn(size(X)); % adding noise to observations 
ABt = pinv( [ X' Y'] ) * C';

检查真实模型（A和B）和恢复ABt之间的差异：

ABt - [A' ; B']

收益 率

  ans =
   5.8457e-05   3.0483e-04
   1.1023e-04   6.1842e-05
  -1.2277e-04  -3.2866e-04
  -3.1930e-05  -5.2149e-05

这足够接近于零。（请记住，观察结果是嘈杂的，解决方案是最小二乘的）。