如何使用中间值定理找到数学函数的根

Question

根据给定函数 F（x） 的中间值定理，我应该写一个函数，它得到一个数学函数，两个数字a和b，以及一个误差范围，它给出数字x作为输出，其函数的值接近0到epsilon。例子：

>>> find_root(lambda x : x - 1 , -10, 10)
1.0009765625 
>>> find_root(lambda x : x**2 , -10, 10)
>>> #returned None

这是我到目前为止编写的代码，我认为我走在正确的道路上，但是我不知道要循环什么，我没有得到这段代码的正确答案。那么我应该解决什么问题呢？

def find_root(f, a, b, EPS=0.001):
    if (f(a)*f(b))<0:
        for i in range(a,b):
            if f(i)<EPS:
                return (i)
    else:
        return (None)

Answer 1

使用二分法：

def find_root(f, a, b, EPS=0.0001):
  if f(a)==0 : return a
  if f(b)==0 : return b
  if f(a)*f(b)>0 : return None
  c=(a+b)/2
  while(abs(f(c))>EPS) :
    if f(a)*f(c)<0 : b=c
    else : a=c
    c=(a+b)/2
  return c

Answer 2

最简单的解决方案是这样的：

def find_root(f, a, b, EPS=0.001):
    #assuming a < b
    x = a
    while x <= b:
        if abs(f(x)) < EPS:
            return x
        else:
            x += EPS

结果：

>>>find_root(lambda x: x-1, -10, 10)
0.9999999999998982
>>>find_root(lambda x: x-1, -10, -2)
None

Answer 3

如您所知，如果初始值均为正值或均为负值，则过程无法找到根。

以下是有关如何使用二进制搜索实现它的建议，以加快该过程：

def find_root(f, a, b, EPS=0.001):
    fa = f(a)
    fb = f(b)
    if fa*fb > 0: # both positive or both negative
        return None
    while abs(fa) > EPS and abs(fb) > EPS:
        c = (a+b)/2.0
        fc = f(c)
        if fa*fc >= 0:
            a = c
            fa = fc
        else:
            b = c
            fb = fc
    if abs(fa) <= EPS:
        return a
    else:
        return b

find_root(lambda x : x-1, -10, 10) 的返回值为 1.0009765625。