可能重复：
如何检测两条线段的相交位置
确定两条线段是否相交？
给定两条线l1＝((A0，B0(，(A1，B1((和l2＝((A2，B2(，(A3，B3((；Ax、Bx是整数，(Ax、Bx(指定行的开始和结束。
有没有一种算法只使用整数运算来确定l1和l2是否相交？(只需要布尔答案。(
我自己的方法是用定点算法计算交点附近的一个点。然后将溶液(a，b(代入以下方程：
I： abs((A0+a*(A1-A0((-(A2+b*(A3-A2((<公差
II： abs((B0+a*(B1-B0((-(B2+b*(B3-B2((<公差
如果I和II都评估为true，那么我的方法应该返回true。
我的C++-代码：
vec.h：
#ifndef __MY_VECTOR__
#define __MY_VECTOR__
#include <stdarg.h>
template<typename VType, unsigned int dim>
class vec {
private:
VType data[dim];
public:
vec(){}
vec(VType v0, ...){
data[0] = v0;
va_list l;
va_start(l, v0);
for(unsigned int i=1; i<dim; ++i){
data[i] = va_arg(l, VType);
}
va_end(l);
}
~vec(){}
VType& operator[](unsigned int i){
return data[i];
}
VType operator[](unsigned int i) const {
return data[i];
}};
template<typename VType, unsigned int dim, bool doDiv>
vec<VType, dim> helpArith1(const vec<VType, dim>& A, long delta){
vec<VType, dim> r(A);
for(unsigned int i=0; i<dim; ++i){
r[i] = doDiv ? (r[i] / delta) : (r[i] * delta);
}
return r;
}
template<typename VType, unsigned int dim>
vec<VType, dim> operator*(const vec<VType, dim>& v, long delta) {
return helpArith1<VType, dim, false>(A, delta);
}
template<typename VType, unsigned int dim>
vec<VType, dim> operator*(long delta, const vec<VType, dim>& v){
return v * delta;
}
template<typename VType,unsigned int dim>
vec<VType, dim> operator/(const vec<VType, dim>& A, long delta) {
return helpArith1<VType, dim, true>(A, delta);
}
template<typename VType, unsigned int dim, bool doSub>
vec<VType, dim> helpArith2(const vec<VType, dim>& A, const vec<VType, dim>& B){
vec<VType, dim> r;
for(unsigned int i=0; i<dim; ++i){
r[i] = doSub ? (A[i]-B[i]):(A[i]+B[i]);
}
return r;
}
template<typename VType, unsigned int dim>
vec<VType, dim> operator+(const vec<VType, dim>& A, const vec<VType, dim>& B){
return helpArith2<VType, dim, false>(A, B);
}
template<typename VType, unsigned int dim>
vec<VType, dim> operator-(const vec<VType, dim>& A, const vec<VType, dim>& B){
return helpArith2<VType, dim, true>(A, B);
}
template<typename VType, unsigned int dim>
bool operator==(const vec<VType, dim>& A, const vec<VType, dim>& B) {
for(unsigned int i==0; i<dim; ++i){
if(A[i]!=B[i]){
return false;
}
}
return true;
}
template<typename VType, unsigned int dim>
bool operator!=(const vec<VType, dim>& A, const vec<VType, dim>& B) {
return !(A==B);
}
#endif
line.h:
#ifndef __MY_LINE__
#define __MY_LINE__
#include "vec.h"
unsigned long int ggt(unsigned long int A, unsigned long int B) {
if(A==0) {
if(B==0) {
return 1;
}
return B;
}
while(B!=0) {
unsigned long int temp = A % B;
A = B;
B = temp;
}
return A;
}
#define ABS(n) ( ((n)<0) ? (-n) : (n) )
struct line {
vec<long int, 2> A, B;
explicit line(long int iA_0, long int iA_1, long int iB_0, long int iB_1) :
A(vec<long int, 2>(iA_0<<8, iA_1<<8)),
B(vec<long int, 2>(iB_0<<8, iB_1<<8)){}
vec<long int, 2> slope() const{
vec<long int, 2> temp = A-B;
if(temp[0]<0) {
temp[0] = -1 * temp[0];
temp[1] = -1 * temp[1];
}
return temp/ggt(ABS(temp[0]), ABS(temp[1]));
}
};
bool intersect(line l1, line l2) {
const long int epsilon = 1<<4;
vec<long int, 2> sl1 = l1.slope(), sl2 = l2.slope();
// l2.A + b*sl2 = l1.A + a*sl1
// <=> l2.A - l1.A = a*sl1 - b*sl2 // = (I, II)^T
// I': sl2[1] * I; II': sl2[0] * II
vec<long int, 2> L = l2.A - l1.A, R = sl1;
L[0] = L[0] * sl2[1]; R[0] = R[0] * sl2[1];
L[1] = L[1] * sl2[0]; R[1] = R[1] * sl2[0];
// I' - II'
long int L_SUB = L[0] - L[1], R_SUB = R[0] - R[1];
if(ABS(R_SUB) == 0) {
return ABS(L_SUB) == 0;
}
long int temp = ggt(ABS(L_SUB), ABS(R_SUB));
L_SUB /= temp; R_SUB /= temp;
// R_SUB * a = L_SUB
long int a = L_SUB/R_SUB, b = ((l1.A[0] - l2.A[0])*R_SUB + L_SUB * sl1[0])/R_SUB;
// if the given lines intersect, then {a, b} must be the solution of
// l2.A - l1.A = a*sl1 - b*sl2
L = l2.A - l1.A;
long x = ABS((L[0]- (a*sl1[0]-b*sl2[0]))), y = ABS((L[1]- (a*sl1[1]-b*sl2[1])));
return x<epsilon && y < epsilon;
}
#endif
main.cpp:
#include "line.h"
int main(){
line A(0, 0, 6, 0), B(3, 3, 4, -3);
bool temp = intersect(A, B);
return 0;
}
(我不确定我的intersect函数是否适用于所有行，但根据我迄今为止使用的测试数据，它返回了正确的结果。(
这是可能的。我们想检查l1的两个端点是否在l2的不同侧，以及l2的两个终点是否在l1的相对侧。
为了检查点(a，B(位于l1=((A0，B0(，(A1，B1((的哪一侧，我们取：
- 垂直于直线的任意法向量N；一个这样的矢量是(B1-B0，A1-A0(
- 从直线起点到点(A，B(的矢量P，即(A-A0，B-B0(
然后我们计算点积：
N·p=(A-A0，B-B0(·(B1-B0，A1-A0
我们只对这个符号感兴趣：如果它是正的，那么这个点就在直线的一边；如果是负数，那就是另一个。如您所见，不需要浮点运算。
我们可以利用这样一个事实，即符号相反的数字在相乘时总是负数。因此，确定两条线段((A0，B0(，(A1，B1((和((A2，B2(，(A3，B3((是否相交的完整表达式为：
((A2-A0)*(B1-B0) - (B2-B0)*(A1-A0)) * ((A3-A0)*(B1-B0) - (B3-B0)*(A1-A0)) < 0
&&
((A0-A2)*(B3-B2) - (B0-B2)*(A3-A2)) * ((A1-A2)*(B3-B2) - (B1-B2)*(A3-A2)) < 0
测试代码
一些C++代码来测试上面的计算：
#include <iostream>
#include <cstdlib>
struct Point {
int x,y;
};
bool isIntersecting(Point& p1, Point& p2, Point& q1, Point& q2) {
return (((q1.x-p1.x)*(p2.y-p1.y) - (q1.y-p1.y)*(p2.x-p1.x))
* ((q2.x-p1.x)*(p2.y-p1.y) - (q2.y-p1.y)*(p2.x-p1.x)) < 0)
&&
(((p1.x-q1.x)*(q2.y-q1.y) - (p1.y-q1.y)*(q2.x-q1.x))
* ((p2.x-q1.x)*(q2.y-q1.y) - (p2.y-q1.y)*(q2.x-q1.x)) < 0);
}
int main(int argc, char* argv[]) {
if(argc != 9) {
std::cout << "Call as " << argv[0] << " <p1.x> <p1.y> <p2.x> "
<< "<p2.y> <q1.x> <q1.y> <q2.x> <q2.y>" << std::endl;
return -1;
}
Point p1 = {.x = atoi(argv[1]), .y = atoi(argv[2])};
Point p2 = {.x = atoi(argv[3]), .y = atoi(argv[4])};
Point q1 = {.x = atoi(argv[5]), .y = atoi(argv[6])};
Point q2 = {.x = atoi(argv[7]), .y = atoi(argv[8])};
if(isIntersecting(p1,p2,q1,q2)) {
std::cout << "Segments intersect" << std::endl;
return 1;
}
else {
std::cout << "Segments do not intersect" << std::endl;
return 0;
}
}
结果：
$ ./intersection_test 0 0 10 10 0 10 10 0 # example from the comments
Segments intersect
$ ./intersection_test 0 1 2 1 1 2 1 0
Segments intersect
$ ./intersection_test 0 0 0 1 1 1 1 0
Segments do not intersect
$ ./intersection_test 1 1 5 3 3 4 7 2 # q touches but not intersects at p2
Segments do not intersect
$ ./intersection_test 1 1 5 3 3 4 6 2
Segments intersect
两条线段相交，当它们的线相交时，每条线段的端点都在另一条线段的对侧。至少在2d。
两条线相交在二维中是一个容易的问题。
点在直线的哪一边也很容易。
两者都不需要非整数数学。
我会估计一些通用几何代码的十几行或三行，然后是6到10行的解决方案？再加上语言样板。还有一些零长度的拐角案例检查。
注意，我在区分线条和线段。