3D 中圆上的最近点。缺少什么？

Question

我希望我能清楚地解释这一点。我正在尝试计算三维圆上最近的点。我找到了以下解决方案：http://www.geometrictools.com/Documentation/DistancePoint3Circle3.pdf

我的代码如下(用Lua编写(。主要的问题是投影Q似乎不正确，或者我不明白如何正确计算它。正如你在论文中所读到的，Q应该是点在圆平面上的投影。

例如，圆的法线为{0,1,0}，其中心位于{3,3,3}。我试图计算离圆最近距离的点(p(位于{6,3,2}。然后，在我的计算中，在圆的平面上的投影Q是{6,0,2}。

为了使算法发挥作用，我似乎必须将Q与平面的位置偏移，例如圆心分量在其法线方向上。在这种情况下，y方向因此值为3。

我可以破解正常{0,1,0}，因为它很容易，但一旦圆面对任何任意位置，我不知道如何计算。

我错过了什么，哪里出了问题？

function calculatePointCircleDistance(p, circleCenter, circleNormal, circleRadius)
local C = circleCenter
local R = circleRadius
local Q = projectVectorOntoPlane(p, circleNormal)
-- I need to do a fix like this in order to get the calculations right
-- This for example only works with circleNormal {0,1,0}
-- Adding the y component of the circle position to the projection Q
Q[2] = C[2]
if vec3.equal(Q, C) == 1 then
    print("point exacly aligned with center circle")
    return vec3.mag(vec3.sub(C, p)), C
end
-- the following is calculating X=C+R (Q−C / |Q−C|)
local QminC = vec3.sub(Q, C)
local tmp = vec3.scale(vec3.div(QminC, vec3.mag(QminC)), R)
local X = vec3.add(C, tmp)
-- return distance as |X-p| as well as point X
return vec3.mag(vec3.sub(X, p)), X
end

function projectVectorOntoPlane(v, normal)
-- U = V - (V dot N)N
local vProjected = vec3.sub(v, vec3.scale(normal, vec3.dot(v, normal)))
return vProjected
end

Answer 1

我想，你链接的那篇论文对这个操作有点借鉴。

问题是projectVectorOntoPlane实际上并没有将向量投影到所需的平面上。它将向量投影到另一个平面上，该平面与所需平面平行，但通过原点。(然后你试图用Q[2] = C[2]解决这个问题，但这只会让情况变得更糟。(

平面可以由法向量和平面上的某个点来定义，所以你可以这样写projectVectorOntoPlane函数：

-- Project P onto the plane with normal n containing the point O.
function projectVectorOntoPlane(P, n, O)
    return vec3.sub(P, vec3.scale(n, vec3.dot(vec3.sub(P, O), n)))
end

然而，对于这个问题，在基于圆心的坐标系中一直工作是最简单的，所以我建议这样做：

-- Return a point on the circle with center C, unit normal n and radius r
-- that's closest to the point P. (If all points are closest, return any.)
function pointCircleClosest(P, C, n, r)
    -- Translate problem to C-centred coordinates.
    local P = vec3.sub(P, C)
    -- Project P onto the plane containing the circle.
    local Q = vec3.sub(P, vec3.scale(n, vec3.dot(n, P)))
    -- If Q is at the centre, all points on the circle are equally close.
    if vec3.equal(Q, {0,0,0}) then
        Q = perpendicular(n)
    end
    -- Now the nearest point lies on the line through the origin and Q.
    local R = vec3.sub(P, vec3.scale(Q, r / vec3.mag(Q)))
    -- Return to original coordinate system.
    return vec3.add(R, C)
end
-- Return an arbitrary vector that's perpendicular to n.
function perpendicular(n)
    if math.abs(n[1]) < math.abs(n[2]) then
        return vec3.cross(n, {1,0,0})
    else
        return vec3.cross(n, {0,1,0})
    end
end

哦，你可能会发现使用一个更好的vec3类更方便，也许是这个，这样你就可以写P - C而不是繁琐的vec3.sub(P, C)等等。