多维数组-如何在一次拍摄两个以上矩阵的外积，在matlab中

Question

我要计算y = a⊗a⊗a，其中a是n × 1向量，⊗是外积算子。在这种情况下，y应该是一个n × n × n张量。

如果y = a⊗a，则很容易。我只是这样做:

y = a * a' 

但是在第一种情况下该怎么做?如果有两个以上的向量，我如何在MATLAB中有效地计算这个外积?

Answer 1

在y = u⊗v的多维(张量)情况下，我认为您需要像这样移动第二个操作数的维度:

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));

然后与bsxfun: 相乘

y = bsxfun(@times, u, v_t);

常规的矩阵乘法只定义于向量和二维矩阵，所以我们不能在一般情况下使用它。

还要注意，如果第二个操作数是一维向量，这个计算仍然失败，因为对于向量，ndims返回2而不是1。为此，让我们定义自己的计算维度的函数:

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));

要完成答案，您可以定义一个新函数(，例如)。一个匿名函数)，如下所示:

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));

，然后根据需要使用多少次。例如，y = a×a×a的计算方法如下:

y = outprod(outprod(a, a), a);

当然，您可以编写一个更好的函数，使用可变数量的参数来节省键入的时间。下面的内容:

function y = outprod(u, varargin)
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
    y = u;
    for k = 1:numel(varargin)
        v = varargin{k};
        v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
        y = bsxfun(@times, y, v_t);
    end

我希望我算对了!

Answer 2

您也可以使用kron函数:

kron(a * a', a)

或当需要四个外(克罗内克张量)积时:

kron(kron(a * a', a), a)

等等。最后一个给出了一个m x n矩阵，其中m = n * n * n。

如果需要在产品中添加尺寸，可以使用reshape函数:

reshape(kron(a * a', a), [n, n, n])

或

reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n])

等等。最后一个给出了一个n x n x n x n张量

Answer 3

在前面的解决方案中使用kron的问题是，它抛出了外部乘积的规范索引。

相反，ndgrid是这个场景的理想选择:

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];
[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));
% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);

在纸上，我们可以检查所需的解决方案M是数据集:

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
           |            |            |
24    30   | 28    35   | 32    40   | 36    45
48    60   | 56    70   | 64    80   | 72    90
72    90   | 84   105   | 96   120   | 108   135

使用Kronecker积法

M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]);

我们将得到:

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
            |             |             |
24    36    | 64    84    | 30    45    | 80   105
28    48    | 72    96    | 35    60    | 90   120
32    56    | 72   108    | 40    70    | 90   135

datacbe M2具有与M相同的元素，但这些元素是重新排列的。这是因为kron(a * b', c)没有在连续块中包含M的片，以方便直接应用reshape函数。为了以这种方式计算外积，我们需要对kron(a * b', c)的元素应用重排操作/函数(可确定，但费力且耗时)。

使用ndgrid的另一个优点是它很容易泛化到更高阶。