p(x)⇒∀x.p(x) 是偶然的

Question

我遇到了一个问题，询问流动的句子是否有效/偶然/不满意：

p(x)⇒∀x.p(x) 

我认为答案是这句话是有效的。 根据教科书第6.10节，这里 http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

具有自由变量的句子

等价于所有自由变量都被普遍量化的句子。

因此，我认为第一个关系句子p(x(等于∀x.p(x(，因此该句子是有效的，即它总是正确的。

然而，正确的答案是，这句话是偶然的，即在某些真理分配下它是真的，而在其他一些真理分配下它是假的。

那么，为什么判决是有条件的呢？答案错了吗？

Answer 1

我认为这取决于你如何阅读这句话。

如果你把它作为一个定义来理解，那么它就不是偶然的。

但是，如果您将其视为纯逻辑...那么语句中实际上有 2 种x的含义。 含义左侧的x与右侧量化中的x不同。

p(x) => for all x . p(x)

意思相同

p(x) => for all y . p(y)

这显然是有条件的。 并非所有谓词都成立p。

(例如：

1. 让p(x)代表谓词"x 是左撇子">

2. 声明接着说：

    X is left-handed implies that everyone is left-handed.
   

   。这不是一个逻辑上有效的陈述。

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请参阅@sawa的答案以获得更"数学上严谨"的解释。

Answer 2

你有一个语句：

p(x)⇒∀x.p(x)

如果你普遍关闭自由变量，你会得到：

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x))

换句话说：

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y))

这不是重言式，而是偶然的。在非技术术语中，内容如下：

对于任何x，如果p(x)为真，那么p(y)对所有y都是正确的

或者，将其转换为等效形式：

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y))

上面写着：

如果p(x)对某些x为真，那么p(y)对所有y都是正确的

换句话说，

p(x)要么总是真的，要么总是假

的