如果人们能帮助我找到一种有效的方法（可能是低内存算法）来解决以下问题，我将不胜感激。
我需要找到转移矩阵CCD_ 2的平稳分布CCD_。转换矩阵是一个非常大、非常稀疏的矩阵，其构造使得所有列的总和为1。由于平稳分布由方程Px = x给出，因此x简单地是与特征值1相关联的P的特征向量。
我目前正在使用GNU Octave生成转换矩阵，找到平稳分布，并绘制结果。我使用函数eigs()，它计算特征值和特征向量，可以只返回一个特征向量，其中特征值为1（实际上我必须指定1.1，以防止出现错误）。转换矩阵的构建（使用稀疏矩阵）相当快，但随着大小的增加，找到特征向量的速度越来越慢，而且在检查中等大小的问题之前，内存就用完了。
我当前的代码是
[v l] = eigs(P, 1, 1.01);
x = v / sum(v);
既然我知道1是特征值，我想知道是否有更好的方法来计算特征向量，或者有一种方法可以让更有效地使用内存，因为我真的不需要一个中等大小的密集矩阵。我天真地尝试了
n = size(P,1); % number of states
Q = P - speye(n,n);
x = Qzeros(n,1); % solve (P-I)x = 0
由于Q是奇异的（根据定义）。
如果有人对我应该如何处理这个问题有任何想法，我将不胜感激，因为这是一个我必须执行多次的计算，如果可能的话，我想在更大、更复杂的模型上尝试一下。
作为这个问题的背景，我正在求解随机SIR模型中牛群中感染人数的平衡分布。不幸的是，即使是中等规模的畜群，过渡矩阵也非常大。例如：在平均20个个体的SIR模型中（95%的情况下，种群在12到28个个体之间），P是21169乘21169，具有20340个非零值（即0.0005%的密度），并且使用了321 Kb（该大小的全矩阵将为3.3 Gb），而对于大约50个个体，P使用了3 Mb。x本身应该很小。我怀疑x0在某个地方有一个密集矩阵，这导致我内存不足，所以如果我可以避免使用全矩阵，我应该没事。
幂迭代是找到矩阵主特征值的标准方法。你选择一个随机向量v，然后用P反复击打它，直到你不再看到它有很大的变化。你想周期性地用sqrt(v^T v)除以v来归一化它
这里的收敛速度与最大特征值和第二大特征值之间的间隔成比例。每次迭代只需要进行几次矩阵乘法运算。
有一些更花哨的方法可以做到这一点（在这里搜索"PageRank"是一件好事），可以提高真正巨大的稀疏矩阵的速度，但我不知道它们在这里是否必要或有用。
您的方法看起来不错。然而，你所说的x，是Q的零空间。如果它支持稀疏矩阵，null（Q）会起作用，但它不起作用。网上有很多关于寻找稀疏矩阵的零空间的东西。例如：
http://www.mathworks.co.uk/matlabcentral/newsreader/view_thread/249467
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/42922-null-space-for-sparse-matrix/content/nulls.m
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/11120-null-space-of-a-sparse-matrix
似乎最好的解决方案是使用幂迭代方法，正如tmyklebu所建议的那样。
方法是迭代x = Px; x /= sum(x)，直到x收敛。如果连续迭代之间的d1范数小于1e-5，我假设收敛，因为这似乎会给出好的结果。
收敛可能需要一段时间，因为最大的两个特征值相当接近（收敛所需的迭代次数可能会有很大的变化，根据所使用的模型和种群大小，从大约200到2000次不等，但最终会达到目的）。然而，内存需求很低，而且很容易实现。