我有一组前25个泽尼克多项式。
z2 = 2*x
z3 = 2*y
z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1)
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z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2)
我不使用第一，因为它是活塞;这24个二元解析函数用X-Y笛卡尔坐标系表示。它们都是在单位圆上定义的，因为它们在单位圆上正交。我在这里描述的问题也与其他二维曲面相关，除了泽尼克多项式。
设XY坐标系的原点(0,0)与单位圆的圆心相同。
接下来，我对这24个多项式进行线性组合来构建二维波前形状。我在这个组合中使用了24个随机输入系数。
w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i (i=2,3,4,....24)
a_i = random coefficients
z_i = zernike polynomials
到目前为止，一切都是可以在纸上完成的分析部分。
现在是离散化!
我知道当你想重建一个信号(1Dim/2Dim)时，你的采样频率应该至少是信号中存在的最大频率的两倍(nyquist - shannon原理)。
这里的信号是w(x,y)，如上所述，这只是一个简单的2Dim函数x &我现在想把它在电脑上表示出来。显然我不能在x轴上取-1到+1的所有无穷点y轴上也一样。我必须取有限的no。在这个解析曲面w(x,y)上的数据点(称为样本点或只是样本)的个数
我正在测量x &Y以米为单位，-1 <= x <= +1;-1 <= y <= +1.
。如果x轴从-1到1,50个样本点dx = 2/50= 0.04米。y轴也是一样。现在采样频率是1/dx，也就是每米25次采样。y轴也是一样。
但是我随机取了50个样本;我可以取10个样本或1000个样本。这就是问题的关键:有多少样本点?我如何确定这个数字?
有一个上面提到的定理(Nyquist-Shanon定理)它说如果我想忠实地重构w(x,y)，我必须在两个轴上对它进行采样，这样我的采样频率(即不。每米样品的频率)至少是w(x,y)中存在的最大频率的两倍。这就是求w(x,y)的功率谱。思想是在空间域中的任何函数都可以在空频域中表示，这只不过是对函数进行傅里叶变换!这告诉我们函数w(x,y)中有多少(空间)频率，以及这些频率中的最大频率是多少。
现在我的问题是首先如何在我的情况下找到这个最大采样频率。我不能使用MATLAB fft2()或任何其他工具，因为这意味着我已经在波前采集了样本!!显然，剩下的选择是分析地找到它!但这既耗时又困难，因为我有24个多项式。我必须使用连续傅里叶变换也就是说，我必须用纸和笔。
任何帮助都将不胜感激。
谢谢
关键假设
- 你想使用"Nyquist-Shanon"定理来确定采样频率
显然剩下的选项是找到它的分析!但这是时间既耗时又困难，因为我有21个多项式。我必须使用
假设我已经做了(并注意到其他数学技术的考虑超出了StackOverflow的范围)，你别无选择，只能计算连续的傅立叶变换。
然而，我相信您还没有考虑到计算转换的所有选项，除了一个费力的论文练习，例如
- 使用代码 的连续ft的数值逼近符号集成，如Wolfram Alpha
傅里叶变换的数值近似肯定能满足你的解吗?
我假设这是为了课程作业或研究，所以作为一个物理学家，你真正关心的是在你的问题范围内准确的最快的解决方案。
综上所述，我的意思是，不要浪费时间去寻找一个数学上更优雅的解决方案或技巧，只要用上面的方法之一来解决问题