Python(NumPy，SciPy)，查找矩阵的空空间

Question

我试图找到给定矩阵的零空间(Ax=0的解空间(。我找到了两个例子，但我似乎都做不到。此外，我不明白他们在做什么，所以我不能调试。我希望有人能带我度过难关。

文档页面(numpy.linalg.svd和numpy.compress(对我来说是不透明的。我通过创建矩阵C = [A|0]、找到缩减的行梯队形式并逐行求解变量来学会这一点。我似乎无法理解这些例子是如何做到的。

感谢您的帮助！

这是我的示例矩阵，它与维基百科的示例相同：

A = matrix([
    [2,3,5],
    [-4,2,3]
    ])  

方法(在这里和这里找到(：

import scipy
from scipy import linalg, matrix
def null(A, eps=1e-15):
    u, s, vh = scipy.linalg.svd(A)
    null_mask = (s <= eps)
    null_space = scipy.compress(null_mask, vh, axis=0)
    return scipy.transpose(null_space)

当我尝试它时，我会得到一个空矩阵：

Python 2.6.6 (r266:84292, Sep 15 2010, 16:22:56) 
[GCC 4.4.5] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import scipy
>>> from scipy import linalg, matrix
>>> def null(A, eps=1e-15):
...    u, s, vh = scipy.linalg.svd(A)
...    null_mask = (s <= eps)
...    null_space = scipy.compress(null_mask, vh, axis=0)
...    return scipy.transpose(null_space)
... 
>>> A = matrix([
...     [2,3,5],
...     [-4,2,3]
...     ])  
>>> 
>>> null(A)
array([], shape=(3, 0), dtype=float64)
>>> 

Answer 1

Sympy使这一点变得简单明了。

>>> from sympy import Matrix
>>> A = [[2, 3, 5], [-4, 2, 3], [0, 0, 0]]
>>> A = Matrix(A)
>>> A * A.nullspace()[0]
Matrix([
[0],
[0],
[0]])
>>> A.nullspace()
[Matrix([
[-1/16],
[-13/8],
[    1]])]

Answer 2

得到矩阵A的SVD分解。CCD_ 5是特征值的向量。您对几乎为零的特征值感兴趣(请参见$A*x=\lambda*x$，其中$\abs(\lambda(<\ε$(，其由逻辑值null_mask的向量给出。

然后，从列表vh中提取与几乎为零的特征值相对应的特征向量，这正是您所寻找的：一种跨越零空间的方法。基本上，你提取行，然后转置结果，这样你就得到了一个以特征向量为列的矩阵。

Answer 3

截至去年(2017年(，scipy现在在scipy.linalg模块(docs(中有一个内置的null_space方法。

实现遵循规范的SVD分解，如果您有一个较旧版本的scipy并且需要自己实现它，那么实现就相当小了(见下文(。然而，如果你是最新的，它就在你身边。

def null_space(A, rcond=None):
    u, s, vh = svd(A, full_matrices=True)
    M, N = u.shape[0], vh.shape[1]
    if rcond is None:
        rcond = numpy.finfo(s.dtype).eps * max(M, N)
    tol = numpy.amax(s) * rcond
    num = numpy.sum(s > tol, dtype=int)
    Q = vh[num:,:].T.conj()
    return Q

Answer 4

它似乎对我来说工作正常：

A = matrix([[2,3,5],[-4,2,3],[0,0,0]])
A * null(A)
>>> [[  4.02455846e-16]
>>>  [  1.94289029e-16]
>>>  [  0.00000000e+00]]

Answer 5

您的方法几乎是正确的。问题是函数scipy.linalg.swd返回的s的形状是(K，(，其中K=min(M，N(。因此，在您的示例中，s只有两个条目(前两个奇异向量的奇异值(。以下对null函数的更正应该允许它适用于任何大小的矩阵。

import scipy
import numpy as np
from scipy import linalg, matrix
def null(A, eps=1e-12):
...    u, s, vh = scipy.linalg.svd(A)
...    padding = max(0,np.shape(A)[1]-np.shape(s)[0])
...    null_mask = np.concatenate(((s <= eps), np.ones((padding,),dtype=bool)),axis=0)
...    null_space = scipy.compress(null_mask, vh, axis=0)
...    return scipy.transpose(null_space)
A = matrix([[2,3,5],[-4,2,3]])
print A*null(A)
>>>[[  4.44089210e-16]
>>> [  6.66133815e-16]]
A = matrix([[1,0,1,0],[0,1,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]])
print null(A)
>>>[[ 0.         -0.70710678]
>>> [ 0.          0.        ]
>>> [ 0.          0.70710678]
>>> [ 1.          0.        ]]
print A*null(A)
>>>[[ 0.  0.]
>>> [ 0.  0.]
>>> [ 0.  0.]
>>> [ 0.  0.]]

Answer 6

一种更快但数值不太稳定的方法是使用秩揭示QR分解，例如scipy.linalg.qr和pivoting=True:

import numpy as np
from scipy.linalg import qr
def qr_null(A, tol=None):
    Q, R, P = qr(A.T, mode='full', pivoting=True)
    tol = np.finfo(R.dtype).eps if tol is None else tol
    rnk = min(A.shape) - np.abs(np.diag(R))[::-1].searchsorted(tol)
    return Q[:, rnk:].conj()

例如：

A = np.array([[ 2, 3, 5],
              [-4, 2, 3],
              [ 0, 0, 0]])
Z = qr_null(A)
print(A.dot(Z))
#[[  4.44089210e-16]
# [  6.66133815e-16]
# [  0.00000000e+00]]