这个问题是在一次采访中问我的：我有一个二叉树，我必须找到该树的两个随机节点的共同祖先（父节点）。我还得到了一个指向根节点的指针。
我的答案是：
分别遍历两个节点的树，直到到达预期的节点。并行遍历时将元素和下一个地址存储在链表中。然后我们有两个链表。所以试着比较这两个链表，两个链表中最后一个公共节点是父节点。
我认为这个解决方案是正确的，如果我错了就纠正我。如果这个解决方案是正确的，我可以知道这是该任务唯一更好的解决方案吗，或者还有其他更好的解决方法吗！
也许是愚蠢的方法：
生成从每个节点到根的路径，并将其存储为"L"one_answers"R"的字符串。
将这些字符串反转。取最长的公共前缀-您现在有了到公共祖先的路径。
在两个随机节点上设置一个指针。通过遍历到顶部并计算与根节点的距离来找到每个节点的深度。然后再次在两个节点上设置指针。对于更深的节点，向上遍历，直到两个指针处于相同的深度。然后向上遍历两个节点，直到指针指向同一个节点。那是祖先节点。
我所说的"向上遍历"只是指将指针移动到当前节点的父节点。
编辑以澄清：关键思想是，当两个节点都在同一深度时，只需简单的遍历就可以很快找到共同的父节点。所以你爬下一个，直到两个都在同一深度，然后你向上移动。对不起，我真的不知道C，否则我会写代码，但那个算法应该能回答你的问题。
再次编辑：我的方法在O（log（n））时间和O（1）内存中运行。
另一个编辑：平衡树中的O（log（n））。对于不平衡树，最坏情况下的性能是O（n）。感谢@DaveKahill
我认为您可以同时搜索两个节点；搜索的分歧点是共同的祖先。
commonAncestor tree a b:
value := <value of node 'tree'>
if (a < value) && (b < value)
then commonAncestor (left tree) a b
else if (a > value) && (b > value)
then commonAncestor (right tree) a b
else tree
有趣的是，这种方法可以扩展到两个以上的节点（检查所有节点是否都在tree的左侧，等等）
进行级别顺序遍历，对于我们遇到的每个节点，我们都检查其子节点。如果它们是所提供的随机节点，则找到祖先节点。
第1版：
这是的概要
struct _node {
my_type data;
struct _node *left;
struct _node *right;
}
q = queue_create ();
queue_insert (q, head);
temp = head;
while (!empty (q))
{
temp = queue_remove (q);
if (
(temp->left == my_random_node_1) && (head->right == my_random_node_2) ||
(temp->left == my_random_node_2) && (head->right == my_random_node_1)
)
{
/* temp is the common parent of the two target notes */
/* Do stuffs you need to do */
}
/* Enqueue the childs, so that in successive iterations we can
* check them, by taking out from the queue
*/
push (q, temp->left);
push (q, temp->right);
}
更新
先前的算法只会找到共同的父节点（直接祖先），因此，如果两个随机选择的节点不是共同父节点的子节点，则不会找到答案。
下面的算法将找到共同的祖先，而不仅仅是父母。
我认为以下算法会起作用：
对二叉树进行后序遍历，找到随机节点1 r1，如果找到它，则在状态变量中将其标记为状态一，并继续查找第二个节点，如果找到，则将状态变量更新为state two并停止搜索并返回。状态变量应该由每个节点传递给其父节点（递归）。在状态2中遇到状态变量的第一个节点是公共祖先。
算法的实现如下：
int postorder (node *p, int r1, int r2)
{
int x = 0; /* The state variable */
if (p->data == TERMINAL_VAL)
return x;
/* 0x01 | 0x02 = 0x03 threfore
* state one is when x = 0x01 or x = 0x02
* state two is when x = 0x03
*/
if (p->data == r1)
x |= 0x01;
else if (p->data == r2)
x |= 0x02;
/* if we have x in state two, no need to search more
*/
if (x != 0x03)
x |= postorder (p->left, r1, r2);
if (x != 0x03)
x |= postorder (p->right, r1, r2);
/* In this node we are in state two, print node if this node
* is not any of the two nodes r1 and r2. This makes sure that
* is one random node is an ancestor of another random node
* then it will not be printed instead its parent will be printed
*/
if ((x == 0x03) && (p->data != r1) && (p->data != r2))
{
printf ("[%c] ", p->data);
/* set state variable to 0 if we do not want to print
* the ancestors of the first ancestor
*/
x = 0;
}
/* return state variable to parent
*/
return x;
}
我认为这将正确工作，尽管我仍然要证明算法的正确性有一个缺点，那就是，如果一个节点是另一个节点的子节点，那么它将只打印作为另一个的父节点的节点，而不是打印它们的父节点如果其中一个随机节点是另一个随机结点的祖先，那么它将打印它的父结点，而不是打印祖先随机节点。在其中一个是根节点的情况下，它将不打印任何东西，因为它始终是另一随机节点的祖先，因此它们的共同祖先不存在。在这种特殊情况下，函数将在main中返回0x03，并且它可以被检测到。
由于该算法进行后序遍历，因此它需要O（n）执行时间，因此需要O（n）内存。此外，一旦找到两个节点，搜索就会停止，节点越浅，搜索结束得越快。
更新
以下是一些模式讨论：如何在任何二叉树中找到两个节点的最低公共祖先？
这个问题已经得到了很好的研究，并且有已知的算法可以在线性时间内解决它本文描述了许多可以用来解决它的不同方法。承认这是一篇研究论文，因此算法有点棘手，但它描述的一些方法实际上非常可行。
@以上，这将不起作用，因为您假设两个节点都是某个特定节点的直接子节点。。。
8
10 12
7
我给出的节点是7和12，答案必须是8。让我们像这个一样
find(root, d1, d2, n1=null, n2=null)
{
if(n1 && n2) return;
if(!root) return;
else if(root -> d == d1 ) n1 = root;
else if(root -> d == d2 ) n2 = root;
find(root->left, d1, d2, n1, n2);
find(root->right, d1, d2, n1, n2);
}
LCA(root, d1, d2)
{
node *n1=null, *n2=null;
find(root, d1, d2, n1, n2);
if(n1 == null || n2 == null )error 'nodes not present' exit(0);
findIntersect(n1, n2);
}
findInterSect(node *n1, node *n2)
{
l1 = length(n1);
l2 = length(n2);
node *g = n2, *l = n1;
diff = abs(l1 - l2);
if(l1>l2) g = n1 l =n2
while(diff) g = g->parent; diff--;
// now both nodes are at same level
while(g != l) g= g->parent, l = l->parent;
}
伪码：
node *FindCommonAncestor(node *root, node *node1, node *node2) {
node *current = node1;
node_list temp_list;
temp_list.add(current);
while (current != root) {
current = current.parent;
temp_list.add(current);
}
current = node2;
while (current not in temp_list) {
current = current.parent;
}
return current;
}
如果节点肯定是同一棵树的一部分，那么它们肯定会有一个共同的祖先（即使在最坏的情况下是根）。因此，它总是会终止，并且不需要担心错误情况。
第一个循环运行n次，其中n是node1的深度，因此它是O（n）。第二个循环运行m次，其中m是node2的深度。对临时列表的查找是（最坏的情况下）n。所以第二个循环是O（m*n），它占主导地位，所以函数在O（m*n）中运行。
如果你为临时空间使用一个好的集合数据结构（例如，哈希表）而不是列表，你可以将查找减少到（通常）O（1），而不会增加向临时添加节点的成本。这将把我们的函数时间减少到O（m）。
空间要求为O（n）。
由于我们不提前知道n和m，让我们用树中节点的总数来表示：s。如果树是平衡的，那么n和m每个都受log_2（s）的约束，所以运行时间是O（log_2（s）^2）。Log_2非常强大，所以在我担心2的威力之前，S必须变得相当大。如果树不平衡，那么我们就会失去log_2（树实际上可能退化为链表）。因此，绝对最坏的情况（当一个节点是完全退化树的根，另一个是叶时）是O（S^2）。
hi这将返回最低的祖先节点值，其中树的根和节点的val1、val2->数据值正在传递
int CommonAncestor(node *root, int val1,int val2)
{
if(root == NULL || (! root->left && ! root->right )
return false;
while(root)
{
if(root->data < val1 && root->data < val2)
{
root = root->left;
}
else if(root->data > val1 && root->data > val2)
{
root= root->right;
}
else
return root->data;
}
}
-
预购遍历，除非满足节点中的任何一个，并立即保存已访问的节点。
-
为了遍历，当满足（提供的两个节点中的）任意一个节点时，开始保存节点，并保存列表，直到满足下一个节点。
- 订单遍历后，当两个节点都已访问时，开始保存节点
A
B C
D E F G
H I J K L M N O
假设H和E是两个随机节点。
- ABDH
- HDIBJE
- eblmongca
找到所有三个节点中的第一个公共节点。。。
以下是c#（.net）中的两种方法（都在上面讨论过）供参考：
-
在二叉树中查找LCA的递归版本（O（N）-因为最多访问每个节点）（解决方案的要点是LCA是（a）二叉树中两个元素都位于子树（左和右）两侧的唯一节点是LCA（b）而且，两边都有哪个节点并不重要——最初我试图保留这些信息，很明显，递归函数变得非常混乱。当我意识到这一点时，它变得非常优雅。
-
搜索两个节点（O（N）），并跟踪路径（使用额外的空间-因此，#1可能更优越，即使认为如果二进制树很好地平衡，空间可能可以忽略不计，因为额外的内存消耗将仅在O（log（N）中）。
以便比较路径（本质上类似于接受的答案，但路径是通过假设指针节点不存在于二叉树节点中来计算的）
-
只是为了完成（与问题无关），BST中的LCA（O（log（N））
-
测试
递归：
private BinaryTreeNode LeastCommonAncestorUsingRecursion(BinaryTreeNode treeNode,
int e1, int e2)
{
Debug.Assert(e1 != e2);
if(treeNode == null)
{
return null;
}
if((treeNode.Element == e1)
|| (treeNode.Element == e2))
{
//we don't care which element is present (e1 or e2), we just need to check
//if one of them is there
return treeNode;
}
var nLeft = this.LeastCommonAncestorUsingRecursion(treeNode.Left, e1, e2);
var nRight = this.LeastCommonAncestorUsingRecursion(treeNode.Right, e1, e2);
if(nLeft != null && nRight != null)
{
//note that this condition will be true only at least common ancestor
return treeNode;
}
else if(nLeft != null)
{
return nLeft;
}
else if(nRight != null)
{
return nRight;
}
return null;
}
其中上述私有递归版本由以下公共方法调用：
public BinaryTreeNode LeastCommonAncestorUsingRecursion(int e1, int e2)
{
var n = this.FindNode(this._root, e1);
if(null == n)
{
throw new Exception("Element not found: " + e1);
}
if (e1 == e2)
{
return n;
}
n = this.FindNode(this._root, e2);
if (null == n)
{
throw new Exception("Element not found: " + e2);
}
var node = this.LeastCommonAncestorUsingRecursion(this._root, e1, e2);
if (null == node)
{
throw new Exception(string.Format("Least common ancenstor not found for the given elements: {0},{1}", e1, e2));
}
return node;
}
跟踪两个节点的路径的解决方案：
public BinaryTreeNode LeastCommonAncestorUsingPaths(int e1, int e2)
{
var path1 = new List<BinaryTreeNode>();
var node1 = this.FindNodeAndPath(this._root, e1, path1);
if(node1 == null)
{
throw new Exception(string.Format("Element {0} is not found", e1));
}
if(e1 == e2)
{
return node1;
}
List<BinaryTreeNode> path2 = new List<BinaryTreeNode>();
var node2 = this.FindNodeAndPath(this._root, e2, path2);
if (node1 == null)
{
throw new Exception(string.Format("Element {0} is not found", e2));
}
BinaryTreeNode lca = null;
Debug.Assert(path1[0] == this._root);
Debug.Assert(path2[0] == this._root);
int i = 0;
while((i < path1.Count)
&& (i < path2.Count)
&& (path2[i] == path1[i]))
{
lca = path1[i];
i++;
}
Debug.Assert(null != lca);
return lca;
}
其中FindNodeAndPath定义为
private BinaryTreeNode FindNodeAndPath(BinaryTreeNode node, int e, List<BinaryTreeNode> path)
{
if(node == null)
{
return null;
}
if(node.Element == e)
{
path.Add(node);
return node;
}
var n = this.FindNodeAndPath(node.Left, e, path);
if(n == null)
{
n = this.FindNodeAndPath(node.Right, e, path);
}
if(n != null)
{
path.Insert(0, node);
return n;
}
return null;
}
BST（LCA）-不相关（仅供完成参考）
public BinaryTreeNode BstLeastCommonAncestor(int e1, int e2)
{
//ensure both elements are there in the bst
var n1 = this.BstFind(e1, throwIfNotFound: true);
if(e1 == e2)
{
return n1;
}
this.BstFind(e2, throwIfNotFound: true);
BinaryTreeNode leastCommonAcncestor = this._root;
var iterativeNode = this._root;
while(iterativeNode != null)
{
if((iterativeNode.Element > e1 ) && (iterativeNode.Element > e2))
{
iterativeNode = iterativeNode.Left;
}
else if((iterativeNode.Element < e1) && (iterativeNode.Element < e2))
{
iterativeNode = iterativeNode.Right;
}
else
{
//i.e; either iterative node is equal to e1 or e2 or in between e1 and e2
return iterativeNode;
}
}
//control will never come here
return leastCommonAcncestor;
}
单元测试
[TestMethod]
public void LeastCommonAncestorTests()
{
int[] a = { 13, 2, 18, 1, 5, 17, 20, 3, 6, 16, 21, 4, 14, 15, 25, 22, 24 };
int[] b = { 13, 13, 13, 2, 13, 18, 13, 5, 13, 18, 13, 13, 14, 18, 25, 22};
BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree();
foreach (int e in a)
{
bst.Add(e);
bst.Delete(e);
bst.Add(e);
}
for(int i = 0; i < b.Length; i++)
{
var n = bst.BstLeastCommonAncestor(a[i], a[i + 1]);
Assert.IsTrue(n.Element == b[i]);
var n1 = bst.LeastCommonAncestorUsingPaths(a[i], a[i + 1]);
Assert.IsTrue(n1.Element == b[i]);
Assert.IsTrue(n == n1);
var n2 = bst.LeastCommonAncestorUsingRecursion(a[i], a[i + 1]);
Assert.IsTrue(n2.Element == b[i]);
Assert.IsTrue(n2 == n1);
Assert.IsTrue(n2 == n);
}
}