如何在线性方程组中找到唯一的非退化方程

Question

我正在使用sympy生成符号多项式方程。我有大约30个变量和大约20个常量变量。我的方程式达到的最高幂是一个平方项。

我需要取这些方程中的2^13，计算出其中有多少是唯一的（即，不是彼此的线性组合，不是退化的）。否则，我需要找到方程组产生的矩阵的秩。这些方程大多是退化的，它们是彼此的线性组合。然而，最终，我需要从数据中提取出唯一的方程。

我尝试了如下系统：

1. 创建一个空矩阵
2. 对每个方程式进行迭代。对于每个方程，将其转换为矩阵的一行，并检查矩阵的秩是否通过添加新行而增加
3. 如果秩增加，则将行附加到空矩阵
4. 打印生成的矩阵

如果做得正确，这应该会给出所有唯一的方程。但是，numpy.linalg.matrix_rank（）不适用于sympy符号。不幸的是，我有大约20个用符号表示的常数。

如何找到我唯一的方程式？这些都能解决我的问题：

1. 得到非退化方程的显式解
2. 一种计算矩阵秩的方法，矩阵中有符号
3. 或者，sympy是否具有用于确定sympy方程是否是其他sympy方程的线性组合的内置功能

Answer 1

Sympy有一个带有rank方法的Matrix类：

In [1]: x, y = symbols('x y')
In [2]: M = Matrix([[x, y], [2*x, 2*y]])
In [3]: M
Out[3]: 
⎡ x    y ⎤
⎢        ⎥
⎣2⋅x  2⋅y⎦
In [4]: M.rank()
Out[4]: 1

我不知道具体的实施情况，可能会很慢。因此，您可能想要改进您的算法，例如，通过将矩阵简化为行-梯队形式

一种更系统的方法，它不依赖于多项式可以计算并使用Gröbner基。