作为一名数学学生，当我了解Haskell中的单子时，我做的第一件事就是检查它们是否真的是我所知道的意义上的单子。但后来我了解了单轴变压器，而这似乎不是范畴论研究的内容。
特别地，我希望它们与分配律有关，但它们似乎是真正不同的:一个单子变换被期望应用于任意单子，而分配律是单子和特定的其他单子之间的事务。
此外，看看单极变压器的常见示例，虽然MaybeT m由m与Maybe组成，但StateT m不是m与State的组合。
我的问题是什么是范畴语言中的单子变换?
单子式变压器在数学上并不十分令人愉快。然而，我们可以从自由单体中得到好的(co)产品，更一般地说，理想单体:参见Ghani和Uustalu的"理想单体的协产品":http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.4.2698
用范畴论计算monad变压器 by Oleksandr Manzyuk是另一篇关于monad变压器的文章，并将该概念与范畴论中的重要概念附加联系起来。
在我看来，它还使用了范畴理论中最令人愉快的特征，即图追踪，这使概念非常自然。
单子变换器是单子类中的点内函子。
这里有更多的细节:
从某个范畴开始，在这个范畴中我们考虑那些单元内函子M。所有这些单子M构成了一个范畴，它的态射是自然变换M ->满足单态射定律的M'
单子变换是这类单子中的一个点内函子。什么是单分子的内函子T ?这个内函子是从单态M到单态T(M)的映射，以及任意单态M ->的映射;M'变成单态T(M) ->T (M)。
内函子T是"指向"的。如果存在从单位内函子(Id)到t的自然变换
恒等内函子是单子和单子态的恒等映射。自然变换Id ~>T是由它在所有单态M上的分量定义的，它在M上的分量是一个单态M ->T (M)。此外，必须有一个自然性定律("一元自然性")，它表明，对于任何单子M和M'以及任何单子形态M ->M'，由M, M'， T(M)， T(M')通勤组成的图。
该数据或多或少与单极变压器所需的通常数据一致。所需的单态M ->T(M)是"洋"字的提法。将monad M转换为转换后的monad。
施工还包括"吊装";函数(这是内函子T对单态的作用)，它提升单态M ->M' to T(M) ->T (M)。
如果我们考虑单位单子的像T(Id)，它一定是另一个单子。将其称为"基础单元"。用B表示，我们得到单态B ~>T(M)对于任意M，这是从基本单子到变换单子的提升。
然而，这个定义排除了"非功能性"。单轴变压器，如连续单轴变压器和共密单轴变压器。
分配律只适用于某些单相变压器。存在分配律的变压器有两种:对这两种变压器，自然变换的M处分量Id ~>T由M ->给出;B°M或由M ->M°B。但是其他单子的变换不是函子组合，它们没有分配律。
更多细节将在即将出版的《函数式编程科学》第14章中详细介绍:https://github.com/winitzki/sofp