inverse of a cdf

Question

我想计算给定pdf的逆累积密度函数（逆cdf）。pdf直接作为直方图给出，即N个等距分量的向量。

我目前的做法是：

cdf = cumsum(pdf);
K = 3;   %// some upsampling factor
maxVal = 1;   %// just for my own usage - a scaling factor
M = length(cdf);
N = M*K;   %// increase resolution for higher accuracy
y = zeros(N, 1);
cursor = 2;
for i=1:N
   desiredF = (i-1)/(N-1)*maxVal;
   while (cursor<M && cdf(cursor)<desiredF)
    cursor = cursor+1;
   end;    
   if (cdf(cursor)==cdf(cursor-1))
       y(i) = cursor-1;
   else        
       alpha = min(1, max(0,(desiredF - cdf(cursor-1))/(cdf(cursor)-cdf(cursor-1))));
       y(i) = ((cursor-1)*(1-alpha) + alpha*cursor )/maxVal;
   end;
end;
y = resample(y, 1, K, 0);

这意味着我用线性插值进行上采样，对直方图进行逆采样和下采样。这是一个相当丑陋的代码，不是很健壮（如果我改变上采样因子，我可以得到非常不同的结果），而且速度非常慢。。。有人能提出更好的方法吗？

注：我试图计算的广义逆（在cdf不可逆的情况下）是：

F^{-1}(t) = inf{x in R ; F(x)>t }   

其中F为累积密度函数

[编辑：实际上，K=1（即，没有上采样）似乎可以给出更准确的结果…]

谢谢！

Answer 1

如果您的输入是以非标准化直方图的形式指定的，那么只需使用内置的quantile()函数即可自动计算指定分位数的数据点，这就是反向CDF的作用。如果直方图由数据点的数量归一化（使其成为概率向量），那么只需先将其乘以数据点的数目。有关quantile()的详细信息，请参见此处。基本上，您将假设给定直方图/数据，第一个参数是固定的，这将quantiles()变成仅指定概率值p的函数。如果需要的话，您可以很容易地编写一个包装器函数，使其更加方便。这消除了使用cumsum()显式计算CDF的需要。

添加

如果我们假设直方图、仓和数据点的数量分别为h, b, and N，那么：

 h1 = N*h; %// Only if histogram frequencies have been normalized.
 data = [];
 for kk = 1:length(h1)
     data = [data repmat(b(kk), 1, h1(kk))];
 end
 %// Set p to the probability you want the inv-cdf for...
 p = 0.5;
 inv_cdf = quantiles(data,p)

添加

对于必须利用现有PDF矢量的解决方案，我们可以执行以下操作。假设x_old和pdf_old分别是直方图仓和直方图频率。

 p = 0.5; %// the inv-cdf probability that I want
 num_points_i_want = 100; %// the number of points I want in my histogram vector
 x_new = linspace(min(x_old),max(x_old),num_points_i_want);
 pdf_new = interp1(x_old,pdf_old,x_new);
 cdf_new = cumsum(pdf_new);
 inv_cdf = min(x_new(cdf_new >= p));

或者，如果不希望首先进行插值，我们可以先创建cumsum() CDF，然后在此基础上使用interp1()。

Answer 2

好吧，我想我找到了一个更短的版本，它至少能同样快速准确地工作：

cdf = cumsum(pdf);
M = length(cdf);
xx = linspace(0,1,M);
invcdf = interp1(cdf,xx,xx)

[EDIT:不，这实际上仍然比初始代码慢两到三倍…不要问我为什么！而且它不能处理非严格单调的函数：这会产生错误："X的值应该不同"]