来自colPivHouseholderQr().solve的拟合相关性

Question

我有一些C++代码正在获取一堆 X，Y 值并执行 线性贴合

Eigen::Matrix<float, Eigen::Dynamic, 2> DX;
Eigen::Matrix<float, Eigen::Dynamic, 1> DY;

对于数据值的循环(编辑了一点，因为我的数据源 比简单的数组复杂一些(：

{
DX(i,0) = x[i];
DX(i,1) = 1;
DY(i,0) = y[i];
}

然后

Eigen::Vector2f Dsolution = DX.colPivHouseholderQr().solve(DY);
// linear solution  is in Dsolution[0] and Dsolution[1]

我需要该计算的相关系数。 如何获取？

大多数本征的东西都在我头顶两层楼左右，所以你可能需要用基本的方式把它拼出来。

根本问题是我在多个数据集上运行此例程 我需要一些关于内部噪声和方差的数据质量的指示。

谢谢！

Answer 1

我假设您要计算最小二乘拟合的 R² 系数。

线性最小二乘法

首先，让我们回顾一下您正在做的事情。在你的Dsolution向量中有两个系数(我们称它们为a和b，它们是你的xs和ys之间的仿射模型的估计参数(。这意味着对于每个x[i]，模型对相应y[i]的估计值estimated_y[i] = a * x[i] + b。

a和b的计算方法是最小化观测y[i]与其估计值a*x[i] + b(也称为残差(之差的平方和。事实证明，你可以通过解决线性问题来简单地做到这一点，这就是为什么你使用本征solve()来找到它们。

计算 R²

现在我们要计算 R²，这是您的拟合度"好"程度的指标。

如果我们遵循上面链接的维基百科的定义，要计算 R²，您需要：

1. 计算观测值的平均值y_avg
计算总平方和，
2. 即观测值与其平均值之间的平方差之和(这类似于方差，但您不除以样本数(
3. 通过将每个y的预测值和观测值之间的差值平方和来计算残差平方和

那么R²就1 - (sum_residuals_squares / sum_squares)

特征码

让我们看看如何使用特征码做到这一点：

float r_squared(const MatrixX2f& DX, const VectorXf& DY, const Vector2f& model)
{
// Compute average
const float y_avg = DY.mean();
// Compute total sum of squares
const int N = DX.rows();
const float sum_squares = (DY - (y_avg * VectorXf::Ones(N))).squaredNorm();
// Compute predicted values
const VectorXf estimated_DY = DX * model;
// Compute sum of residual squared
const float sum_residuals_square = (DY - estimated_DY).squaredNorm();
return 1 - (sum_residuals_square / sum_squares);
}

两个平方和表达式中使用的技巧是使用平方范数函数，因为向量的平方范数是其分量的平方和。我们这样做两次，因为我们有两个平方和要计算。

在第一种情况下，我们创建了一个大小为N的向量充满了我们乘以y_avg的向量，以获得一个元素都是y_avg的向量。然后DY的每个元素减去该向量将被y[i] - y_avg，我们计算平方范数得到平方的总和。

在第二种情况下，我们首先使用线性模型计算预测y，然后使用平方范数计算与观测值的差值，使用平方范数计算平方差的总和。