有一个通用公式Z^N=a（Z）^N+1+B（Z）^ N+1。这个公式用于将给定的递归函数转换回其原始显式形式：
递归公式：
1) R(0) = 1, R(n) = (1/3) R(n-1), n = 1, 2, ...
2) P(0) = 1, P(1) = 1/3, P(n) = (4/3) P(n-1) - (1/3) P(n-2), n = 2, 3, ...
3) Q(0) = 1, Q(1) = 1/3, Q(n) = (10/3) Q(n-1) - Q(n-2), n = 2, 3, ...
然后，它提出了"差分公式"的形式：
2) P(n) = A(1/3^n) + B
3) Q(n) = A(1/3^n) + B * 3^n
代表一般解决方案。
然后将"差分函数"代入"递归函数"，得到A，B的根，这就完成了递归函数确实是原始序列{Xn}＝{1/3^n}＝1，1/3，1/9，…的表示的证明。。。
我的问题是差分公式是从哪里来的？我很乐意在微积分或数值方法的任何主要教科书中引用这个主题，比如Swokowski、Fink或Chapra。
这只是一个新生代数。举个例子3：
Q(n+2) = (10/3)Q(n+1) + (-1)Q(n)
Q(n+1) = ( 1)Q(n+1) + ( 0)Q(n)
第二个方程看起来很傻，但它允许我们写出以下矩阵方程：
[ Q(n+2) ] = [ 10/3 -1 ][ Q(n+1) ]
[ Q(n+1) ] = [ 1 0 ][ Q(n) ]
这是类似v(n+1) = a*v(n)的递归的二维类似物，其具有简单的解v(n) = a^n * v(0)。我们可以将相同的逻辑应用于我们的矩阵方程，以获得：
[ Q(n+1) ] = [ 10/3 -1 ]^n [ 1/3 ]
[ Q(n) ] = [ 1 0 ] [ 1 ]
让我们把中间的2×2矩阵称为A，我们将其提升到n次方。现在我们如何快速计算平方矩阵的幂？当它们可对角化时，这很容易。2x2矩阵的特征值是其特征多项式的根
det(A - xI) = (10/3 - x)(0 - x) - (1)(-1) = (x - 1/3)(x - 3)
这告诉我们存在一些可逆的2×2矩阵P（由A的特征向量组成），使得：
[ Q(n+1) ] = P [ 1/3 0 ]^n P^-1 [ 1/3 ]
[ Q(n) ] = [ 0 3 ] [ 1 ]
因此：
[ Q(n+1) ] = P [ 1/3^n 0 ] P^-1 [ 1/3 ]
[ Q(n) ] = [ 0 3^n ] [ 1 ]
由此我们可以很容易地推断出，对于一些常数a和b：
Q(n) = a(1/3^n) + b(3^n)
我们可以通过找到A的特征向量，构造矩阵P和P^-1，将这三个2x2矩阵与右边的2x1向量相乘，并从中实际提取Q(n)的表达式，来明确地计算出它们是什么。但更容易的是，只看这个方程，意识到它会产生Q(n) = a(1/3^n) + b(3^n)的形式，实际上只是通过反置换求解a和b。