查找幂集的加权子集和的最大值

我有一个输入的稀疏功率集(即一些组合已被预先排除(。电源设置中的每个条目都有一定的分数。我想找到涵盖所有分数并最大化总分的组合。

例如，假设输入生成如下：

function powerset(ary) {
  var ps = [[]];
  for (var i = 0; i < ary.length; i++) {
    for (var j = 0, len = ps.length; j < len; j++) {
      ps.push(ps[j].concat(ary[i]));
    }
  }
  return ps;
}
function generateScores() {
  var sets = powerset([0, 1, 2, 3]);
  sets.pop() //remove the last entry to make it "sparse"
  var scores = {};
  for (var i = 1; i < sets.length; i++) { //skip 0-len
    var set = sets[i];
    var val = 0;
    for (var j = 0; j < set.length; j++) {
      val |= (1 << set[j]);
    }
    scores[val] = ~~Math.pow(((Math.random()+1)*4),set.length);
  }
  return scores;
}
var scores = generateScores();

输出将如下所示：

{
  "1": 7,
  "2": 4,
  "3": 36,
  "4": 5,
  "5": 32,
  "6": 50,
  "7": 84,
  "8": 4,
  "9": 30,
  "10": 50,
  "11": 510,
  "12": 47,
  "13": 73,
  "14": 344,
}

由于顺序无关紧要，我可以将组合转换为位掩码并将其用作键。所以要阅读表格："3"的键是011是基数 2，这意味着链接 0-1 产生 36 分，而 0 单独 + 1 单独产生总和 11，因此链接，0-1 ，大于其部分0,1的总和。

在这样做的过程中，我将其简化为加权子集和问题，其目标是找到总和为 15 的每个组合(相当于基数 2 中的 1111(，然后取最大值。这就是我卡住的地方。我尝试使用动态规划，但由于随机性，我不知道如何进行任何减少。例如，1-2可能比1,2好(在上表中，"3"的分数高于"1"+"2"(。但是1-3,2可能比1-2,3或1-2-3更好(。

如何有效地找到最佳组合？(蛮力不可行(。对于此示例，解决方案将为"11"+"4"，总共 515。

您希望找到总和为 15 且没有任何重叠位的元素组合，从而最大限度地提高所选元素的分数。

为此，请定义一个函数bestSubset(use, valid)，该函数输入一组需要使用的元素，以及有效包含但尚未考虑的元素子集。它通过考虑有效集合中s元素来递归操作，考虑使用s或不使用的情况(如果使用，则不能再使用任何与位重叠的元素(。

这是一个JavaScript实现：

var scores = {1:7, 2:4, 3:36, 4:5, 5:32, 6:50, 7:84, 8:4, 9:30, 10:50, 11:510, 12:47, 13:73, 14:344};
var S = [];
for (var prop in scores) {
  S.push([parseInt(prop), scores[prop]]);
}
var n = 15;  // Target sum
var k = S.length;  // Number of weights
function bestSubset(use, valid) {
  if (valid.length == 0) {
    var weightSum = 0;
    var scoreSum = 0;
    var weights = [];
    for (var ct=0; ct < use.length; ct++) {
      weightSum += S[use[ct]][0];
      weights.push(S[use[ct]][0]);
      scoreSum += S[use[ct]][1];
    }
    if (weightSum == n) {
      return [weights, scoreSum];
    } else {
      return false;
    }
  }
  // Don't use valid[0]
  var valid1 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    valid1.push(valid[ct]);
  }
  var opt1 = bestSubset(use, valid1);
  // Use valid[0]
  var use2 = JSON.parse(JSON.stringify(use));
  use2.push(valid[0]);
  var valid2 = [];
  for (ct=1; ct < valid.length; ct++) {
    if ((S[valid[0]][0] & S[valid[ct]][0]) == 0) {
      valid2.push(valid[ct]);
    }
  }
  var opt2 = bestSubset(use2, valid2);
  if (opt1 === false) {
    return opt2;
  } else if (opt2 === false || opt1[1] >= opt2[1]) {
    return opt1;
  } else {
    return opt2;
  }
}
var initValid = [];
for (var ct=0; ct < S.length; ct++) {
  initValid.push(ct);
}
alert(JSON.stringify(bestSubset([], initValid)));

这将返回得分为 515 的集合[4, 11]，正如您在原始帖子中标识的那样。

从非稀疏情况下的一些计算实验(即具有d位数字和目标(2^d)-1，包括所有数字1, 2, ..., (2^d)-1(，我发现这在位数上呈指数级运行(它在递归函数顶部检查有效性的次数是O(e^(1.47d))(。这比暴力破解情况要快得多，在蛮力情况下，您单独考虑包括或不包括每个数字1, 2, ..., (2^d)-1，后者以双指数运行时运行 - O(2^2^d) 。

对于那些

谷歌搜索这个的人，我使用了@josilber提供的答案，没有递归和重叠保护(见下文(。由于 JS 中的递归深度限制为 1000，因此我不得不使用循环。不幸的是，对于我的用例，我仍然内存不足，所以看起来我必须使用一些启发式方法。

var scores = {1: 7, 2: 4, 3: 36, 4: 5, 5: 32, 6: 50, 7: 84, 8: 4, 9: 30, 10: 50, 11: 510, 12: 47, 13: 73, 14: 344};
var S = [];
var keys = Object.keys(scores);
for (i = 0; i < keys.length; i++) {
  S.push([parseInt(keys[i]), scores[keys[i]]]);
}
var n = Math.pow(2,range.length) -1;  // Target sum
var k = S.length;  // Number of weights
// best[i, j] is scored in position i*(k+1) + j
var best = [];
// Base case
for (var j = 0; j <= k; j++) {
  best.push([[], 0]);
}
// Main loop
for (var i = 1; i <= n; i++) { 
  best.push(false);  // j=0 case infeasible
  for (j = 1; j <= k; j++) {
    var opt1 = best[i * (k + 1) + j - 1];
    var opt2 = false;
    if (S[j - 1][0] <= i) {
      var parent = best[(i - S[j - 1][0]) * (k + 1) + j - 1];
      if (parent !== false) {
        opt2 = [parent[0].slice(), parent[1]];
        var child = S[j - 1];
        var opt2BitSig = 0;
        for (var m = 0; m < opt2[0].length; m++) {
          opt2BitSig |= opt2[0][m];
        }
        if ((opt2BitSig & child[0])) {
          opt2 = false;
        } else {
          opt2[0].push(child[0]);
          opt2[1] += child[1];
        }
      }
    }
    if (opt1 === false) {
      best.push(opt2);
    } else if (opt2 === false || opt1[1] >= opt2[1]) {
      best.push(opt1);
    } else {
      best.push(opt2);
    }
  }
}
console.log(JSON.stringify(best[n * (k + 1) + k]));

不同的方法(一如既往(：

第一个想法：

您可以为总和小于单个权重的每个值获取一个权重。因此w a + w b

第一个想法：

相关内容

最新更新

热门标签：