双精度和小数点

Question

我正在研究一个Lisp解释器并实现了有理数。我认为他们比双打更有优势，能够代表像 1/3 这样的数字。我做了一些计算来比较结果。我对结果感到惊讶

带双打

(* 3.0 (/ 1.0 3.0)) -> 1
(* 3.0 (/ 4.0 3.0)) -> 4
(* 81.0 (/ 1.0 81.0)) -> 1

带比率：

(* 3 (/ 1 3)) -> 1
(* 3 (/ 4 3)) -> 4
(* 81 (/ 1 81)) -> 1

为什么浮点运算的结果是精确的？一定是精度的损失。双精度不能存储无限位数。还是我错过了什么？

我用一个小的C应用程序做了一个快速测试。相同的结果。

#include <stdio.h>
int main()   
{  
    double a1 = 1, b1 = 3;  
    double a2 = 1, b2 = 81;  
    printf("result : %fn", a1 / b1 * b1); 
    printf("result : %fn", a2 / b2 * b2);
    return 0;  
}  

输出为：

结果 ： 1.000000
结果 ： 1.000000

制造

马丁

Answer 1

对于第一种情况，乘法的确切结果介于 1.0 和小于 1.0 的最大双精度之间。根据 IEEE 754 舍入到最接近的规则，中间数字四舍五入为偶数，在本例中为 1.0。实际上，乘法结果的舍入抵消了除法结果四舍五入引入的误差。

这个 Java 程序说明了正在发生的事情。转换为 BigDecimal 和 BigDecimal 算术运算都是精确的：

import java.math.BigDecimal;
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    double a1 = 1, b1 = 3;
    System.out.println("Final Result: " + ((a1 / b1) * b1));
    BigDecimal divResult = new BigDecimal(a1 / b1);
    System.out.println("Division Result: " + divResult);
    BigDecimal multiplyResult = divResult.multiply(BigDecimal.valueOf(3));
    System.out.println("Multiply Result: " + multiplyResult);
    System.out.println("Error rounding up to 1.0: "
        + BigDecimal.valueOf(1).subtract(multiplyResult));
    BigDecimal nextDown = new BigDecimal(Math.nextAfter(1.0, 0));
    System.out.println("Next double down from 1.0: " + nextDown);
    System.out.println("Error rounding down: "
        + multiplyResult.subtract(nextDown));
  }
}

输出为：

Final Result: 1.0
Division Result: 0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125
Multiply Result: 0.999999999999999944488848768742172978818416595458984375
Error rounding up to 1.0: 5.5511151231257827021181583404541015625E-17
Next double down from 1.0: 0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875
Error rounding down: 5.5511151231257827021181583404541015625E-17

第二种类似情况的输出为：

Final Result: 1.0
Division Result: 0.012345679012345678327022824305458925664424896240234375
Multiply Result: 0.9999999999999999444888487687421729788184165954589843750
Error rounding up to 1.0: 5.55111512312578270211815834045410156250E-17
Next double down from 1.0: 0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875
Error rounding down: 5.55111512312578270211815834045410156250E-17

此程序说明了舍入误差可能累积的情况：

import java.math.BigDecimal;
public class Test {
  public static void main(String[] args) {
    double tenth = 0.1;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
      sum += tenth;
    }
    System.out.println("Sum: " + new BigDecimal(sum));
    System.out.println("Product: " + new BigDecimal(10.0 * tenth));
  }
}

输出：

Sum: 0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875
Product: 1

乘以 10 轮到 1.0。通过重复加法进行相同的乘法不会得到确切的答案。