如何从该系统中获取所有解决方案

Question

我是线性代数的新手，我正试图求解一个由五个未知数组成的三个方程组。我的系统如下：

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1
-x1 + x2 + x3 - 2x4 - 2x5 = 1
2x1 + 2x2 - x3 - x4 + x5 = 1

所以我所做的是建立这样的增强矩阵：

1  1  1  1  1  1
-1  1  1 -2 -2  1
2  2 -1 -1  1  1

然后我试图在左侧获得一个恒等矩阵，最终得到以下结果：

1  0  0  3/2  3/2  0
0  1  0 -3/2 -5/6  2/3
0  0  1  1    1/3  1/3

所以我认为答案是x1=0，x2=2/3，x3=1/3

但当我在答题纸上看的时候，上面写着：

(x1、x2、x3、x4、x5)=(0、2/3、1/3、0、0)+s(−3/2、3/2、−1、1、0)+t(−3/2、5/6、−1/3、0，1)

我不知道该怎么解释。我的x1，x2，x3似乎与前五元组中的前三个匹配，但其他两个五元组是什么？有人能解释一下我在这里缺了什么吗？我将不胜感激。

Answer 1

方程组可以用矩阵形式表示为

Ax = b

其中A是系数矩阵，x是列向量(x1, ..., xn)，b是具有与等式一样多的条目的列向量。

当b不是0时，我们说系统不是齐次。相关的同质系统是

Ax = 0

其中右边的CCD_ 7再次是列向量。

当你有一个非齐次系统时，就像在这种情况下，一般的解决方案的形式是

P + G

其中CCD_ 8是任何特定的解，而CCD_。

在您的情况下，矢量

P = (0, 2/3, 1/3, 0, 0)

满足所有方程，因此是有效的特定解。

另外两个矢量CCD_ 10和CCD_。由于存在5未知的3(独立)方程(x1.x5)，齐次解的空间可以由这两个向量生成(同样是因为它们是独立的)。

因此，要描述所有齐次解的空间，需要两个标量s和t。换句话说，

G = s(−3/2, 3/2, −1, 1, 0) + t(−3/2, 5/6, −1/3, 0, 1)

将生成所有齐次解，因为CCD_ 18和CCD_。