用多重新计算提高间隔

Question

我尝试将boost Interval算术库与Boost MultipRecision库一起使用。如果我使用本机双重数据类型使用标准的双重精度，则一切正常。

使用多重新计算库，它产生的结果实际上更不准确。这里有一些代码：

#include <boostnumericinterval.hpp>
#include <boostmultiprecisioncpp_dec_float.hpp>
#include <iostream>
using namespace boost::numeric;
using namespace boost::numeric::interval_lib;
using namespace boost::multiprecision;
template <typename T>
using Interval = interval<T, policies<save_state<rounded_transc_exact<T>>, checking_base<T>>>;
using BigFloat = cpp_dec_float_100;
int main()
{
    std::cout << sin(Interval<double>(0.0, 0.1)).upper() << "n"; // 0.0998334
    std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0.0, 0.1)).upper() << "n"; // 1
}

可以看出，double版本产生非常准确的结果。BigFloat版本应该更准确，但是它会产生非常大的界限 - 实际上是sin函数的最大值，因此该界限完全没有用。

如何解决此问题，以使间隔库实际上利用更高的精度并产生更尖锐的界限？

Answer 1

要开始，我用 cos而不是 sin进行了测试。

与cos(x-½π)一样，间隔库实现sin(x)。这意味着sin([0, 0.1])转换为cos([-½π,-½π+0.1])（递归到cos([½π,½π+0.1])）。

在BigFloat的情况下，由于库不知道PI常数（pi<BigFloat>()，pi_half<BigFloat>()或pi_twice<BigFloat>()），它代表它们为整数间隔，例如：pi_half<BigFloat>表示为[1,2]。糟糕。cos间隔已成为[-2,-0.9]（递归到[0,3.1]面中）。

添加一些跟踪：

DOUBLE--------------------
pi/2: [1.570796326794896558,1.57079632679489678]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-1.57079632679489678,-1.4707963267948964692]
cos: [1.5707963267948961139,1.6707963267948979791]
[-5.0532154980743028885e-16,0.099833416646829500896]
BigFloat--------------------
pi/2: [1,2]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-2,-0.89999999999999999445]
cos: [0,3.1000000000000000056]
[-1,1]

解决方案？

我可以想到的最好的解决方案涉及直接使用cos或专门使用pi_half：

直接使用cos

这不是解决方案，因为它仍然会在内部使用某些损坏的pi_*<BigFloat>()常数：

static BigFloat bf_pi_half() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>() / BigFloat(2); }

现在您可以写

活在coliru

std::cout << "BigFloat--------------------n";
std::cout << cos(ival - bf_pi_half()) << "n";

打印

BigFloat--------------------
[-0.909297,0.818277]

您可以看到，这不是所需的输出。

专业常数

实际上，您应该专门研究基础常数：

活在coliru

#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp>
#include <boost/multiprecision/detail/default_ops.hpp>
#include <boost/numeric/interval.hpp>
#include <boost/numeric/interval/io.hpp>
namespace bn  = boost::numeric;
namespace bni = bn::interval_lib;
namespace bmp = boost::multiprecision;
template <typename T>
using Interval = bn::interval<T, bni::policies<bni::save_state<bni::rounded_transc_exact<T>>, bni::checking_base<T>>>;
using BigFloat = bmp::cpp_dec_float_100; // bmp::number<bmp::backends::cpp_dec_float<100>, bmp::et_off>;
static BigFloat bf_pi() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>(); }
namespace boost { namespace numeric { namespace interval_lib { namespace constants {
    template<> inline BigFloat pi_lower<BigFloat>()       { return bf_pi(); }
    template<> inline BigFloat pi_upper<BigFloat>()       { return bf_pi(); }
    template<> inline BigFloat pi_twice_lower<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
    template<> inline BigFloat pi_twice_upper<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
    template<> inline BigFloat pi_half_lower<BigFloat>()  { return bf_pi() / 2; }
    template<> inline BigFloat pi_half_upper<BigFloat>()  { return bf_pi() / 2; }
} } } }
int main() {
    std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0, 0.1)) << "n";
}

此打印：

[0,0.0998334]

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¹实际上使用pi_twice<>常量