康托尔的可数无限和不可数无限的集合
你可能知道并且你可能已经证明了 0 到 1 之间的实数集是不可数无限的。意思是我们不能将每个数都映射到不同的自然数上。
我得到了一种技术，通过它，我可以在不同的自然数上映射 0 到 1 之间的所有实数。技术很简单 将小数点替换为 1 并将原始数字映射到该数字上这样在 10003 上映射 0.0003，在 103 上映射 0.03
通过使用这种技术，我们将能够在自然数上映射 0 到 1 之间的所有实数。而所有这些自然数将以 1 开头，因此我们也将有其他数字，在这些数字上将映射无数字，例如2 或 211 或 79所以这意味着自然数集比 0 到 1 之间的实数更刨丝。所以 0 到 1 之间的实数集是可数无限的。
你有什么意见？
0 到 1 之间的实数集合是不可数无穷的，如您熟悉的康托尔对角线参数所示。
您可能会感到惊讶的是，0 到 1 之间的有理数集合是可数无限的。也就是说，整数与具有有限小数扩展的所有分数和数字之间存在 1 比 1 的对应关系。你可以在这里找到证据。
这是行不通的，因为任意无理实数，如 0.5123129421... 是一个合法的实数，但该数字15123129421... 不是。 在前者的情况下，你可以指出（至少在原则上）它会沿着数字线的位置，但对于后者，这是不可能的。试着说出15123129421...作为一个数字（如 1022 是一千二十二）。你将无法做到，因为这样的数字不是自然数。