R-具有目标函数中的A_IX_I^2项的二次程序

Question

关于二次程序，我将如何设置一个目标函数，例如

min⁡∑a_i（x_i）^2

在矩阵形式中的" QuadProg"或" limsolve"的矩阵形式（对于此软件包，我不确定是否需要以矩阵形式为单位）？

从我到目前为止的讨论中，二次术语没有乘法。

Answer 1

让我们考虑您提到的表单的简单线性约束二次程序：

min  0.5x^2 + 0.7y^2
s.t. x + y = 1
     x >= 0
     y >= 0

使用quadprog软件包

解决方案

quadprog软件包接受以下形式的模型：

min −d'b + 1/2b'Db
s.t. A'b >= b0

要将我们的问题纳入此形式，我们需要以(2*0.5 2*0.7)为主对角线构建一个矩阵D，以及带有三个约束的矩阵A，右侧b0：

dvec <- c(0, 0)
Dmat <- diag(c(1.0, 1.4))
Amat <- rbind(c(1, 1), c(1, 0), c(0, 1))
bvec <- c(1, 0, 0)
meq <- 1  # The first constraint is an equality constraint

现在我们可以将其喂给solve.QP：

library(quadprog)
solve.QP(Dmat, dvec, t(Amat), bvec, meq=meq)$solution
# [1] 0.5833333 0.4166667

使用limSolve软件包

解决方案

limSolve软件包的lsei功能接受以下表格的模型：

min  ||Ax-b||^2
s.t. Ex = f
     Gx >= h

要获得我们的目标函数，我们需要用(sqrt(0.5) sqrt(0.7))作为主角构建矩阵A，将b设置为0向量，以及编码其他信息的矩阵和向量：

A <- diag(c(sqrt(0.5), sqrt(0.7)))
b <- c(0, 0)
E <- rbind(c(1, 1))
f <- 1
G <- diag(2)
h <- c(0, 0)

现在我们可以将此信息提供给lsei：

library(limSolve)
lsei(A, b, E, f, G, h)$X
# [1] 0.5833333 0.4166667