切割卡穆尔-罗姆样条的算法?

Question

我有一个带有 6 个 CV 的 catmull-rom 样条，想在样条沿的任意点切割它。

如何计算两个新样条的端点，以便它们保持形状与被切成两半之前一样？

所以，想象这是有 6 个点的样条：

p0      p2      p4
     /      / 
   /   C  /   
 /      /     
p1      p3      p5

如果我想在点 C 处切割这个样条，那么我将有两个新样条，每个样条，我猜 5 个 CV？

Spline #1: p0, p1, p2, X, C
Spline #2: C, X, p3, p4, p5

其中 X 是我需要添加的 CV，以保持样条的形状。但是我如何计算 X 需要处于的位置呢？

还是我的逻辑完全错误，并且有一个完全不同的解决方案？

谢谢！

Answer 1

Catmull-Rom 样条本质上是由多条三次贝塞尔曲线组成的样条。因此，如果您想在任何参数 t 处除以它，您只需找出参数所在的贝塞尔曲线，然后使用著名的 De Casteljau 算法除以该贝塞尔曲线。除法结果仍然是三次贝塞尔曲线。但是，如果你想找到一组新的CV，从中派生的Catmull-Rom样条将与原始样条的分割样条具有完全相同的形状，我会说这是不可能的。我将在下面详细解释。

根据 Catmull-Rom 样条的定义，由 6 个 CV：p0， p1,...,p5 定义的原始样条在向量方向 p2 处将有切线 (p1，p3(。对于由 5 个 CV 定义的新 Catmull-Rom 样条：p0、p1、p2、X 和 C，其中 C 是原始 CR 样条上的任意点，p2 处的切线将朝向量 (p1，X( 的方向。

如果我们希望新的 CR 样条精确地表示原始样条的分割样条曲线 #1，那么这两个样条在 p2 处的切线至少应该在同一方向上，这意味着点 X 应该位于由 p1 和 p3 定义的线上。此标准使得新的 Catmull-Rom 样条无法准确表示原始样条的分割样条 #1 的形状。