计算 Julia 中稀疏矩阵的对数行列式

Question

我对计算大型、稀疏、复杂(浮点)矩阵的行列式的对数感兴趣。我的第一个想法是使用 LU 分解，即：

srand(123) 
A=complex.(rand(3,3), rand(3,3))
LUF=lufact(A)
LUFs=lufact(sparse(A))
if round(det(LUFs[:L])*det(LUFs[:U])-det(A[LUFs[:p], LUFs[:q]]), 5)==0
println("Sparse LU determinant is correctn")
else
println("Sparse LU determinant is NOT correctn")
end

它将始终打印出"不正确"选项。此外

round.(LUFs[:L]*LUFs[:U], 5)==round.(A[LUFs[:p], LUFs[:q]], 5)

总是假的。

如果相反，我尝试直接使用

logdet(LUFs)

或

logdet(sparse(A))

我收到一个错误：

LoadError: MethodError: no method matching
logabsdet(::Base.SparseArrays.UMFPACK.UmfpackLU{Complex{Float64},Int64})
Closest candidates are:
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitUpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2184
logabsdet(!Matched::Base.LinAlg.UnitLowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)) where T at linalg/triangular.jl:2185
logabsdet(!Matched::Union{LowerTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T), UpperTriangular{T,S} where S<:
(AbstractArray{T,2} where T)}) where T at linalg/triangular.jl:2189
...
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我不确定是我编码的方式有问题(我是从 matlab 过渡的初学者)，还是我的 Julia 安装有问题(尽管我已经在另一台计算机上复制了这些结果)。你能给我的任何指示都会很棒！

Answer 1

原因是稀疏 LU 也有一个比例因子，可以用LUFs[:Rs]提取(在 Julia 0.6 中，在 Julia 0.7-中LUFs.Rs)。因此，计算变为

julia> det(LUFs[:U])/prod(LUFs[:Rs])
0.4576579970452131 - 0.07585833005688908im
julia> det(A)
0.4576579970452133 - 0.07585833005688908im

我们可能也应该为稀疏的情况logabsdet。但是，您的矩阵是否是正数？这样，您就可以计算Cholesky分解的logdet。