三维重建:从未校准的图像中求解三维点的方程

Question

这是一个非常简单的问题(我希望如此)。以下来自Moons等人(图2-13，第348页)的从多个图像进行的3D重建：

从两个未校准的图像进行投影3D重建

给定 ：静态场景的两个未校准图像I1和I2之间的一组点对应m1在I1中和m2在I2中。

目标 ：场景的投影3D重建^M。

算法 :

1. 计算基本矩阵的估计^F
2. 由^F计算核极e2
3. 计算3x3矩阵
   ^A = −(1/||e2||2) [e2]x^F
4. 对于每对对应的像点m1和m2，求解以下^M的线性方程组：
   ^p1m1= ^M和^p2m2= ^A ^M + e2
   (^p1和^p2是非零标量)

[我为格式化道歉。我不知道如何给字符戴帽子。]

直到第4步我都很好。但我上一堂线性代数课已经30多年了，即使在那时，我也不确定自己是否知道如何解决这样的问题。如有任何帮助或参考，我们将不胜感激。

顺便说一句，这是我的另一个帖子的后续：

通过点对应检测/校正照片翘曲

这只是试图解决问题的另一种方法。

Answer 1

给定一对匹配的像点m₁和m₂，由于测量中的噪声，来自光学中心的两条对应光线不太可能完美相交。因此，所提供的系统的解决方案应该在(线性)最小二乘意义上找到，即用(例如)：找到x = argmin_x | C x - d |^2

/           0  /    
|  I  -m1   0 | |  M |
C x = |           0 | |    |
|       0     | | p1 |
|  A    0 -m2 |  p2 /
       0     /

和

/  0  
|  0  |
d = |  0  |
|     |
| -e2 |
     /

这个问题有6个方程的5个未知数。

一个可能的替代公式利用了m₁和m₂与m共线的事实，因此m1 x M = 0和m2 x (A M + e2) = 0产生了线性最小二乘问题x = argmin_x | C x - d |^2，其中：

/ [m1]x    /   
C = |         | | M |
 [m2]x A /    /

和

/     0    
d = |          |
 -m2 x e2 /

其中CCD_ 23是与CCD_。对于6个方程，该问题有3个未知数，只有保持非线性相关的未知数，才能将其减少到4个。