我在解决Ax=B形式的系统时遇到了麻烦
系统的解决方案应该是
x = inv(A)*B
但是，这行不通。
当我尝试上面的代码行时，我得到以下错误消息:
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.156482e-018.
它似乎是有麻烦的matlab反演矩阵，我已经指定。我试图通过输入inv(A)*A
来验证逆函数是否正常工作。这应该给出单位矩阵，但是我得到了相同的错误和一些垃圾数字。
这是我正在使用的A矩阵:
A = [5/2 1/2 -1 0 0 -1/2 -1/2 0 0
1/2 1/2 0 0 0 -1/2 -1/2 0 0
-1 0 5/2 -1/2 -1 0 0 -1/2 1/2
0 0 -1/2 1/2 0 0 0 1/2 -1/2
0 0 -1 0 3/2 -1/2 1/2 0 0
-1/2 -1/2 0 0 -1/2 2 0 -1 0
-1/2 -1/2 0 0 1/2 0 1 0 0
0 0 -1/2 1/2 0 -1 0 2 0
0 0 1/2 -1/2 0 0 0 0 1]
你知道为什么这不起作用吗?我还尝试将A转换为稀疏矩阵(sparse(A))，然后运行逆命令。不行。
问题确实出在你的数学上。你给出的矩阵不是满秩的，所以它不是可逆的。您可以手动验证(没有花时间这样做)，但是MATLAB已经通过显示警告指出了这一点。
由于您正在处理浮点数，这有时会导致其他微妙的问题，其中一个问题可以在det(A)的结果中看到，它的顺序是1e-16，即机器精度或实际中的0。
通过执行rank函数可以看出这个矩阵不是满秩的:rank(A) = 8。对于9x9矩阵，这确实意味着该矩阵对于双精度是不可逆的(因为rank函数说明了机器精度)。
如果您想使用MATLAB来获得与手动计算相对应的结果，您可以使用符号工具箱及其vpa(可变精度算术)来解决可能的数值问题，但代价是计算速度较慢。
B = [5 1 -2 0 0 -1 -1 0 0;
1 1 0 0 0 -1 -1 0 0;
-2 0 5 -1 -2 0 0 -1 1;
0 0 -1 1 0 0 0 1 -1;
0 0 -2 0 3 -1 1 0 0;
-1 -1 0 0 -1 4 0 -2 0;
-1 -1 0 0 1 0 2 0 0;
0 0 -1 1 0 -2 0 4 0;
0 0 1 -1 0 0 0 0 2];
A = B/2;
size(A) % = [9 9]
det(A) % = -1.38777878078145e-17
rank(A) % = 8
C = vpa(A);
det(C) % = 0.0
rank(C) % = 8
对于VPA和浮点数，您将得到秩为8，大小为[9 9]，行列式几乎为0，即奇异或不可逆。更改几个条目可能会使您的矩阵正则(非奇异)，但不能保证工作，它将解决不同的问题。
要解决A*x=b对x的实际问题，您可以尝试使用mldivide(也称为反斜杠运算符)或Moore-Penrose伪逆:
x1 = Ab;
x2 = pinv(A)*b;
但是请记住，这样的系统没有唯一的解决方案，因此伪逆运算符和反斜杠运算符可能(在这种情况下将)返回非常不同的解决方案，它们中的任何一个是否可以接受实际上取决于您的应用程序。
言之有理。这个矩阵是奇异的，也就是说它不可能被反转。不是所有的矩阵都可以。
在几何术语中，你有一个矩阵，它将一个9维物体转换成另一个，但将一个维度完全平坦化。这是无法挽回的;没有办法知道在那个方向上拉多远
矩阵是奇异，考虑下面的B=2*A:
B = [5 1 -2 0 0 -1 -1 0 0;
1 1 0 0 0 -1 -1 0 0;
-2 0 5 -1 -2 0 0 -1 1;
0 0 -1 1 0 0 0 1 -1;
0 0 -2 0 3 -1 1 0 0;
-1 -1 0 0 -1 4 0 -2 0;
-1 -1 0 0 1 0 2 0 0;
0 0 -1 1 0 -2 0 4 0;
0 0 1 -1 0 0 0 0 2]
det(B)
0
迭代求解器bicgstab(A,b,tol,maxit)能够求解奇异矩阵a的奇异线性系统a *x=b:
size(A)=[162, 162]
rank(A)=14
cond(A)=4.1813e+132
我用了:
tol=1e-10;
maxit=100;
上述(包括svd, , inv, pinv, gmres)都不适合我，但bicgstab做得很好。bicgstab在第4次迭代时收敛到一个相对残差为1.1e-11的解。对于稀疏矩阵，它工作得很快。
查看这里的文档:https://uk.mathworks.com/help/matlab/ref/bicgstab.html