把一个点变成另一个点的算法

Question

输入四个形式为(a,b)和(c,d)的整数。

判断是否有可能从(a,b)得到(c,d)如果在每一步你可以选择操作(a+b,b)或(a,a+b)。

例如，(1,2) -> (3,2) -> (5,2) -> (5,7) -> (12,7) -> (12,19) -> ...

我试着用a+bx = c和ax +b = d来解决问题，但这不起作用。什么好主意吗?

Answer 1

可达点的模式看起来并不简单。你可以把它看作是一个斜线网，斜度为有理，从可达点开始。

这是(1, 2)的模式。这些字母对应连续的"代"。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. A . B . C . D . E . F . G . H . I . J . K . L . M
. B . . C . . D . . E . . F . . G . . H . . I . . J
. C . . . D . . . E . . . F . . . G . . . H . . . I
. D . C . . E . D . . F . E . . G . F . . H . G . .
. E . . . . . F . . . . . G . . . . . H . . . . . I
. F . . D D . . G . . E E . . H . . F F . . I . . G
. G . D . . . . . H . E . . . . . I . F . . . . . J
. H . . . E . E . . I . . . F . F . . J . . . G . G
. I . . . . . E . . . J . . . . . F . . . K . . . .
. J . E E . F . . F . . K . F F . G . . G . . L . G
. K . . . E . . . . . . . L . . . F . . . . . . . M
. L . . . . . G E F F G . . M . . . . . H F G G H .
. M . F . F . . . . . . . . . N . G . G . . . . . .
. N . . F . . . H . . . . H . . O . . G . . . I . .
. O . . . . . F . . . G . G . . . P . . . . . G . .
. P . G . F G F . I . . . G . I . . Q . H . G H G .
. Q . . . . . . . . . F . F . . . . . R . . . . . .
. R . . G G . . . . J F F H . . H J . . S . . H H .
. S . H . . . H . G . . . . . . . . . . . T . I . .
. T . . . . . . F . . K . . . . H H . K . . U . . .
. U . . . G . . . G . . . . . I . . . I . . . V . .
. V . I H . H G I . G . L . G . . . G . . L . . W .
. W . . . H . G . . . H . . . . . . . . . . . . . X
. X . . . . . . . . . . . M G . G J G I . I J M . .

乍一看，这在数学上似乎不容易处理，因此可以通过从(c, d)回溯找到算法解决方案。

(a, b)= (1, 2)
def Backtrack(c, d):
    if c == a and d == b:
        print "Reachable !"
        return
    if d > 0 and c >= d:
        Backtrack(c - d, d)
    if c > 0 and d >= c:
        Backtrack(c, d - c)
Backtrack(9, 8)
Reachable !

除非c == d导致快速终止，否则最多进行一次递归调用，因此调用的数量不会呈指数级增长。

Answer 2

也许有一个优雅的数学解决方案，我不知道，但对我来说，这看起来像一个搜索问题。我们有一个起点(a, b)和一个终点(c, d)，在搜索的每个点上，我们可以走两步:要么走到状态(a+b, b)要么走到状态(a, a+b)。一个简单的递归深度优先搜索就可以做到。这里唯一棘手的地方是确定何时停止搜索。

让我们先解决所有整数都是正数的情况。在这种情况下，我们不能指望找到解的极限条件是明确的:当a超过c或b超过d时，我们不能指望在树的这个分支上找到一个更低的解:

bool pathExistsForPositive(int a, int b, int c, int d) {
    if (a == c && b == d) return true; // success condition
    if (a > c || b > d) return false; // limiting condition
    return pathExistsForPositive(a+b, b, c, d)
        || pathExistsForPositive(a, a+b, c, d);
}

现在，将这个推广到数字不是正数的情况更棘手，但是可行的。我希望这种直觉能有所帮助。在这种情况下，试着想想什么时候你必须停止搜索

Answer 3

你可以循环查找所有可能的解

var sols = [[3,2]];
var sols2 = [];
for(depth=1;depth<5;++depth) {
    for(j=0;j<sols.length;++j) {
        var sol = sols[j];
        var sol1 = [sol[0]+sol[1],sol[1]];
        var sol2 = [sol[0],sol[0]+sol[1]];
        sols2.push(sol1,sol2);
        console.log(sol1);
        console.log(sol2);
    }
    sols = sols2;
    sols2 = [];
    console.log();
}

这只是找到所有可能的解。您可以改进代码以过滤掉所有失败的代码。

快速gcd检查将消除任何不能工作的输入