MATLAB的cvx套件可以解决下面的（看似无辜的）优化问题，但对于我正在处理的大型全矩阵来说，它相当慢。我希望这是因为使用cvx太过了，而且这个问题实际上有一个解析解，或者巧妙地使用一些内置的MATLAB函数可以更快地完成任务。
背景：众所周知，x1=Ab和x2=pinv(A)*b都能解决最小二乘问题：
minimize norm(A*x-b)
区别为CCD_ 3。事实上，x2是问题的最小范数解，因此norm(x2)<=norm(x)对于所有可能的解x。
定义D=norm(A*x2-b)（相当于D=norm(A*x1-b)），则x2解决问题
minimize norm(x)
subject to
norm(A*x-b) == D
问题：我想找到的解决方案
minimize norm(x)
subject to
norm(A*x-b) <= D+threshold
换句话说，我不需要norm(A*x-b)尽可能小，只需要在一定的公差范围内。我想要在b的D+threshold内得到A*x的最小范数解x。
我还没能在网上或手工找到这个问题的解析解（比如在经典最小二乘问题中使用伪逆）。我一直在搜索诸如"具有非线性约束的最小二乘"one_answers"具有阈值的最小二乘"之类的东西。
任何见解都将不胜感激，但我想我真正的问题是：在MATLAB中，解决这个"阈值"最小二乘问题的最快方法是什么
有趣的问题。我不知道你确切问题的答案，但下面给出了一个可行的解决方案。
回顾
定义res(x) := norm(Ax - b)。正如您所说，x2使res(x)最小化。在超定的情况下（通常A具有比col更多的行），x2是唯一的最小值。在不确定的情况下，它会被无限多的其他人加入*。然而，在所有这些中，x2是使norm(x)最小化的唯一一个。
总之，x2最小化（1）res(x)和（2）norm(x)，并且它按照优先级的顺序这样做。事实上，这是x2的特征（完全决定）。
极限特性
但是，x2的另一个特征是
x2 := limit_{e-->0} x_e
其中
x_e := argmin_{x} J(x;e)
其中
J(x;e) := res(x) + e * norm(x)
可以看出
x_e = (A A' + e I)^{-1} A' b (eqn a)
应该意识到x2的这种特性是相当神奇的。即使(A A')^{-1}不存在，也存在限制。并且该限制在某种程度上保留了优先级（2）。
使用e>0
当然，对于有限（但很小）的e，norm(x2)<=norm(x1)0不会最小化res(x)（相反，它会最小化J(x;e)）。用你的术语来说，区别在于门槛。我将把它重命名为
gap := res(x_e) - min_{x} res(x).
减小CCD_ 33的值保证了减小gap的值。因此，通过调整e很容易达到特定的gap值（即阈值）。**
这种类型的修改（将norm(x)添加到res(x)最小化问题中）被称为统计学中的正则化，通常被认为是稳定性（数值和参数值）的好主意。
*：注意，x1和x2仅在欠定情况中不同
**：它甚至不需要任何繁重的计算，因为如果已经计算了A的SVD，那么对于e的任何（正）值，(eqn a)中的倒数都很容易计算。