矩阵围绕任意轴错误旋转

Question

我一直在尝试围绕任意轴工作的矩阵旋转，我认为我很接近，但是我有一个错误。我对3D旋转是相对较新的，并且对正在发生的事情有基本的了解。

public static Matrix4D Rotate(Vector3D u, Vector3D v)
{
    double angle = Acos(u.Dot(v));
    Vector3D axis = u.Cross(v);
    double c = Cos(angle);
    double s = Sin(angle);
    double t = 1 - c;
    return  new Matrix4D(new double [,]
    {
        { c + Pow(axis.X, 2) * t,  axis.X * axis.Y * t -axis.Z * s, axis.X * axis.Z * t + axis.Y * s, 0 },
        { axis.Y * axis.X * t + axis.Z * s, c + Pow(axis.Y, 2) * t, axis.Y * axis.Z * t - axis.X * s, 0 },
        { axis.Z * axis.X * t - axis.Y * s, axis.Z * axis.Y * t + axis.X * s, c + Pow(axis.Z, 2) * t, 0 },
        { 0, 0, 0, 1 }
    });
}

上面的代码是矩阵旋转的算法。当我使用单元向量测试算法时，我会得到以下内容：

Matrix4D rotationMatrix = Matrix4D.Rotate(new Vector3D(1, 0, 0), new Vector3D(0, 0, 1));
Vector4D vectorToRotate = new Vector4D(1,0,0,0);
Vector4D result = rotationMatrix * vectorToRotate;
//Result
X = 0.0000000000000000612;
Y = 0;
Z = 1;
Length = 1;

旋转90度，我发现它几乎可以完美地工作。现在让我们看一个45度旋转：

Matrix4D rotationMatrix = Matrix4D.Rotate(new Vector3D(1, 0, 0), new Vector3D(1, 0, 1).Normalize());
Vector4D vectorToRotate = new Vector4D(1,0,0,0);
Vector4D result = rotationMatrix * vectorToRotate;
//Result
X = .70710678118654746;
Y = 0;
Z = .5;
Length = 0.8660254037844386;

当我们采用Atan（.5/.707）时，我们发现我们的旋转而不是45度旋转。同样，向量的长度从1变为.866。有人对我做错了什么有任何建议吗？

Answer 1

您的矩阵代码看起来正确，但是您也需要也正常化 axis （仅仅是因为u和v都不合理平均u cross v也是）。

（出于性能和准确的原因，我还建议使用简单的乘法而不是Pow；但这是次要的，而不是您问题的根源）

Answer 2

仅用于后代，这是我用于此确切的代码。我一直建议使用Atan2(dy,dx)代替Acos(dx)，因为它在90°附近的角度上更稳定。

public static class Rotations
{
    public static Matrix4x4 FromTwoVectors(Vector3 u, Vector3 v)
    {
        Vector3 n = Vector3.Cross(u, v);
        double sin = n.Length();  // use |u×v| = |u||v| SIN(θ)
        double cos = Vector3.Dot(u, v); // use u·v = |u||v| COS(θ)
        // what if u×v=0, or u·v=0. The full quadrant arctan below is fine with it.
        double angle = Atan2(sin, cos);
        n = Vector3.Normalize(n);
        return FromAxisAngle(n, angle);
    }
    public static Matrix4x4 FromAxisAngle(Vector3 n, double angle)
    {
        // Asssume `n` is normalized
        double x = n.X, y = n.Y, z = n.Z;
        double sin = Sin(angle);
        double vcos = 1.0-Cos(angle);
        return new Matrix4x4(
            1.0-vcos*(y*y+z*z), vcos*x*y-sin*z, vcos*x*z+sin*y, 0,
            vcos*x*y+sin*z, 1.0-vcos*(x*x+z*z), vcos*y*z-sin*x, 0,
            vcos*x*z-sin*y, vcos*y*z+sin*x, 1.0-vcos*(x*x+y*y), 0,
            0, 0, 0, 1.0);
    }
}

_代码是C#