高斯-赛德尔法超过机器数量

Question

大家新年快乐！ :)

我正在用Matlab编写一个Gauss-Seidel函数，遇到了一些问题。

当我们达到 6 位十进制精度时，迭代必须停止。这意味着x-xprevious的无限范数（要求使用它）必须小于0.5*10^(-6)。首先，这是我的函数：

function [x] = ex1_3(A,b)
format long 
sizeA=size(A,1);
x=zeros(sizeA,1);  
%Just a check for the conditions of the Gauss-Seidel Method
for i=1:sizeA
    sum=0;
    for j=1:sizeA
        if i~=j 
            sum=sum+A(i,j);
        end
    end
    if A(i,i)<sum
        fprintf('nGauss-Seidel''s conditions not met!n');
        return     
    end
end
%Actual Gauss-Seidel Method
max_temp=10^(-6); %Pass first iteration
while max_temp>(0.5*10^(-6))
    xprevious=x;
    for i=1:sizeA
        x(i,1)=b(i,1);
        for j=1:sizeA
            if i~=j
              x(i,1)=x(i,1)-A(i,j)*x(j,1); 
            end
        end
        x(i,1)=x(i,1)/A(i,i);
    end
    x
    %Calculating infinite norm of vector x-xprevious 
    temp=x-xprevious;
    max_temp=temp(1,1);
    for i=2:sizeA
       if abs(temp(i,1))>max_temp
           max_temp=abs(temp(i,1));
       end
    end
end

现在的问题！当我为 3x3 数组调用函数时，我认为它可以工作。但是，当我为 10x10 数组调用它时x变得Inf（我想它超出了机器数量限制）。除了更改无限范数和 6 位十进制数字精度（我必须使用这两个，因为我的导师告诉我）之外，我能做些什么来防止这种情况？

在我使用的数组（提供给我的）中，对角线外的条目-1，对角线上的条目3. b是这样的b=[2;1;1;1;1;1;1;1;1;2]（对于n=10）

Answer 1

高斯-赛德尔方法的条件不正确：

D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);
B=(D-L)U;
R = max(abs(eig(B)));
if R>=1
    fprintf('nGauss-Seidel''s conditions not met!n');
    return     
end

R称为迭代矩阵B的谱半径。高斯-赛德尔收敛必须小于 1。实际上测试用例中的矩阵A具有R=1.8092，因此高斯-塞德尔方法不会收敛。

有关更多详细信息，请查看第 18 页的此幻灯片。

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根据@LutzL的评论，您可以使用格什戈林圆定理来估计特征值，而不是用计算成本来计算它们。