单体同态和同构

Question

我正在读《Programming in Scala》一书(红皮书(。

在关于 Monoid 的章节中，我了解了什么是 Monoid 同态，例如：具有串联和length函数的字符串 MonoidMf保留了幺半群结构，因此是同态的。

M.op(f(x), f(y)) == M.op(f(x) + f(y))
// "Lorem".length + "ipsum".length == ("Lorem" + "ipsum").length

引用这本书(凭记忆，如果我错了，请纠正我：

当这种情况在两个方向上发生时，它被命名为幺半群同构，这意味着对于幺半群M, N，函数f, g，f andThen g和g andThen f是identity函数。例如，StringMonoid 和List[Char]Monoid 具有串联是同构的。

但是我看不到看到这个的实际例子，我只能认为f是length函数，但是g会发生什么？

注意：我看到了这个问题：什么是同构和同态。

Answer 1

要查看String和List[Char]之间的同构，我们有toList: String -> List[Char]和mkString: List[Char] -> String。

length是从弦幺半群到自然数幺半群的同态，带有加法。

弦幺半群的内同态的几个例子是toUpperCase和toLowerCase。

对于列表，我们有很多同态，其中许多只是fold的版本。

Answer 2

这是siyopao的答案，表示为ScalaCheck程序

object IsomorphismSpecification extends Properties("f and g") {
val f: String => List[Char] = _.toList
val g: List[Char] => String = _.mkString
property("isomorphism") = forAll { (a: String, b: List[Char]) =>
(f andThen g)(a) == a && (g andThen f)(b) == b
}
}

哪些输出

+ f and g.isomorphism: OK, passed 100 tests.