向量的同义元素明智划分

Question

我有一个价格向量和一个数量向量。我想象征性地划分符号中的两个向量。我什至找不到矢量设施。所以我完全迷失在如何创建矢量符号以及如何操纵它们的符号中。

最终，我想使用拉格朗日方法最大化的是prod((x/p) **b)受约束sum(x) = 1。我可以用标量做到这一点，但不能用向量来做到这一点：

import sympy as sp
import sympy
from  sympy.abc  import,p1, p2, l, x1, x2,  b1, b2
sp.init_printing()
U = ((x1/p1)**b1)*((x2/p2)**b2)
L = U - l*(x1 + x2 - 1)
dL_dy = sp.diff(L, x1)
dL_dx = sp.diff(L, x2)
dL_dl = sp.diff(L, l)
sp.solve([dL_dy, dL_dx, dL_dl], (x1, x2, l))

Answer 1

这是执行此操作的一种方法。

import sympy as sp

定义（向量）变量和参数：

# vector size (integer, user input):
n = 2
# vector variables:
x = sp.var('x0:'+str(n), positive = True)
y = sp.var('y0:'+str(n), positive = True)
# vector parameters:
p = sp.var('p0:'+str(n), positive = True)
q = sp.var('q0:'+str(n), positive = True)
# scalar parameters
b = sp.var('b', real = True)
c = sp.var('c', real = True)
# Lagrange multiplier for sum constraint:
l = sp.var('lambda')

目标函数：

U = reduce(lambda xi, xj: xi * xj, [(xi/pi)**b * (yi/qi)**c for xi,pi,yi,qi in zip(x,p,y,q)],1)
U

（x0/p0）**b*（x1/p1）**b*（y0/q0）**c

*（y1/q1）**c

拉格朗日：

L = U + l * (sum(x+y)-1) 

KKT 条件（每个列表元素必须等于零）：

KKT = sp.simplify([sp.numer(sp.together(sp.diff(L, xi))) for xi in x]+
        [sp.numer(sp.together(sp.diff(L, xi))) for yi in y] + [sp.diff(L, l)])

我只考虑了导数的分子，以帮助求解者。这意味着基于此方法的某些解决方案可能由于相应的零分母而无效（必须手动检查）。

现在可以通过以下方式获得解决方案：

sp.solve(KKT,sp.flatten([x,y,l]))

对于参数b和c的一般值，Sympy似乎无法给出解决方案。但是，对于这些参数的某些选择，可以获得解决方案。例如，对于b=2和c=2，给出的解决方案是

[{lambda: y0**2*y1**2*(y0 + y1 - 1)**3/(4*p0**2*p1**2*q0**2*q1**2), 
  x0: -y0/2 - y1/2 + 1/2, 
  x1: -y0/2 - y1/2 + 1/2}]

Answer 2

IndexedBase 是一个很好的对象，当你需要一个类似向量的数量时：

>>> from sympy import *
>>> quant=IndexedBase('q')
>>> price=IndexedBase('p')
>>> i = var('i',integer=True)
>>> product(price[i]/quant[i],(i,1,2))
p[1]*p[2]/(q[1]*q[2])

你也可以区分 wrt p[1]、q[1] 等。这会帮助你更自然地提出问题吗？