给定两个 1Dnumpy数组a和b
N = 100000
a = np.randn(N)
b = np.randn(N)
为什么以下两个表达式之间存在相当大的执行时间差异：
# expression 1
c = a @ a * b @ b
# expression 2
c = (a @ a) * (b @ b)
使用Jupyter Notebook的%timeit魔力，我得到了以下结果：
%timeit a @ a * b @ b
每个循环 223 μs ± 6.97 μs(7 次运行的平均标准±，每次 1000 次循环(
和
%timeit (a @ a( * (b @ b(
每个环路 17.4 μs ± 27.3 ns(平均 ± 标准偏差 7 次运行，每次 100000 次循环(
在这两个版本中，您都执行长度 N 向量的两个点积。但是，此外，第一个解决方案执行 N 次乘法，而第二个解决方案只需要一个。
a @ a * b @ b相当于((a @ a) * b) @ b或
aa = a @ a # N multiplications and additions -> scalar
aab = aa * b # N multiplications -> vector
aabb = aab @ b # N multiplications and additions -> scalar
(a @ a) * (b @ b)相当于
aa = a @ a # N multiplications and additions -> scalar
bb = b @ b # N multiplications and additions -> scalar
aabb = aa * bb # 1 multiplication -> scalar
矩阵乘法性能可能取决于如何设置括号这一事实是众所周知的。存在通过利用这一事实来优化矩阵链乘法的算法。
更新：正如我刚刚了解到的，numpy 具有优化多个矩阵乘法的功能：numpy.linalg.multidot