递归与记忆在楼梯问题中是自下而上的

Question

将经典楼梯问题视为"戴维斯家里有很多楼梯，他喜欢一次爬1、2或3个楼梯。作为一个非常早熟的孩子，他想知道有多少种方法可以到达楼梯的顶部。

我的方法是使用带有递归的记忆作为

# TimeO(N), SpaceO(N), DP Bottom Up + Memoization
def stepPerms(n, memo = {}):
    if n < 3:
        return n
    elif n == 3:
        return 4
    if n in memo:
        return memo[n]
    else:
        memo[n] = stepPerms(n - 1, memo) + stepPerms(n - 2 ,memo) + stepPerms(n - 3 ,memo)
        return memo[n]

我想到的问题是，这个解决方案是自下而上还是自上而下。我的处理方法是，因为我们一直向下计算上 N 个值(想象一下递归树(。我认为这是自下而上的。这是对的吗？

Answer 1

通常，

Recoursion策略是自上而下的方法，无论它们是否有内存。底层算法设计是动态规划，传统上以自下而上的方式构建。

我注意到你用python编写了代码，python通常对深度还原不满意(少量是可以的，但性能很快就会受到影响，并且最大重新编码深度为1000 - 除非自从我读到它以来它被更改了(。

如果我们制作一个自下而上的动态 programmin 版本，我们可以摆脱这种重新定义，我们也可以认识到我们只需要恒定的空间量，因为我们只对最后 3 个值真正感兴趣：

def stepPerms(n):
    if n < 1: return n
    memo = [1,2,4]
    if n <= 3: return memo[n-1]
    for i in range(3,n):
        memo[i % 3] = sum(memo)
    return memo[n-1]

请注意逻辑简单得多，从 i 中分配的值比值少 1，因为位置从 0 开始而不是计数 1。

Answer 2

在自上而下的方法中，复杂模块被划分为子模块。所以这是自上而下的方法。另一方面，自下而上的方法从基本模块开始，然后进一步组合它们。

此解决方案的自下而上的方法将是：

memo{}
for i in range(0,3):
   memo[i]=i
memo[3]=4
for i in range(4,n+1):
  memo[i]=memo[i-1]+memo[i-2]+memo[i-3]