为什么 numpy 行列式在给定分数矩阵时不返回分数？

Question

我想对有理矩阵执行运算。我使用模块numpy和fractions。

这是我的代码：

import numpy as np
from fractions import Fraction
m=np.matrix([[Fraction(1, 6), Fraction(8, 7)], [Fraction(1, 2), Fraction(3, 2)]])
print(np.linalg.det(m))
# Gives -0.321428571429
print(m[0,0]*m[1,1] - m[0,1]*m[1,0])
# Gives -9/28

由于用高斯方法计算行列式只需要有理运算，所以有理矩阵的行列式是有理的。

所以我的问题是：为什么numpy返回的是float而不是Fraction？我怎样才能得到一个有理行列式？

注意，这个矩阵上的其他运算给出了有理输出（例如m.trace()）。

Answer 1

NumPy通过LAPACK中的上下分解例程计算矩阵的行列式。此例程只能处理浮点数字。

在计算矩阵的行列式之前，linalg.det检查它所具有的值的类型，然后通过调用名为_commonType()的函数来建立应该运行的内部循环的类型。此函数将循环设置为针对双精度或复杂双精度值运行。

以下是函数linalg.det中处理检查的Python部分：

def det(a):
    a = asarray(a) # convert matrix to NumPy array
    _assertNoEmpty2d(a)
    _assertRankAtLeast2(a)
    _assertNdSquareness(a)
    t, result_t = _commonType(a) # input/output types established here
    signature = 'D->D' if isComplexType(t) else 'd->d' # signature 'float->float' chosen 
    return _umath_linalg.det(a, signature=signature).astype(result_t) 

在对矩阵的形状进行检查并确定类型后，return行将数组中的值传递给上下分解的LAPACK实现，并返回浮点值。

试图用我们自己的类型签名绕过这种类型检查会引发一个错误，即没有为对象类型定义这样的循环：

>>> np.linalg._umath_linalg.det(a, signature='O->O') # 'O' is 'object'
TypeError: No loop matching the specified signature was found for ufunc det

这意味着在使用det时不可能保留Fraction类型作为返回类型。

诸如trace()之类的其他函数不进行与det相同的类型检查，并且对象类型可以持久存在。trace通过调用Fraction对象的__add__方法简单地求对角线的和，因此Fraction对象可以保留为返回类型。

如果你想把行列式计算成有理数，你可以研究SymPy。矩阵运算，例如计算行列式，在这里被记录下来。

Answer 2

在我看来，这不是一个容易解决的问题，可能是因为np.linalg的大部分操作都依赖于lapack。从numpy.linalg的源代码中可以看出，在调用任何lapack例程之前，都会调用一个名为_commonType的例程。这将尝试为输入数组中包含的数据找到合适的类型，但如果无法确定类型，则假定类型为double。数组是在传递到lapack例程之前转换为结果类型的数组。这很可能是因为几乎不可能处理每一种可以传递的类型。

我从未使用过Fraction包，所以我无法为您提供一个可行的解决方案来返回到Fraction对象的矩阵。我本来打算建议给m.astype(Fraction)打电话，但似乎也不行。

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