我正在尝试计算cos(x)的泰勒级数，最多10^-3和所有x ∈ [-pi/4, pi/4]都有误差，这意味着我的误差需要小于0.001。我可以修改 for 循环中的 x +=以获得不同的结果。我尝试了几个数字，但它永远不会变成小于 0.001 的错误。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
float cosine(float x, int j)
{
float val = 1;
for (int k = j - 1; k >= 0; --k)
val = 1 - x*x/(2*k+2)/(2*k+1)*val;
return val;
}
int main( void )
{
for( double x = 0; x <= PI/4; x += 0.9999 )
{
if(cosine(x, 2) <= 0.001)
{
printf("cos(x) : %10g %10g %10gn", x, cos(x), cosine(x, 2));
}
printf("cos(x) : %10g %10g %10gn", x, cos(x), cosine(x, 2));
}
return 0;
}
我也在为e^x做这件事。对于这部分，x must in [-2,2].
float exponential(int n, float x)
{
float sum = 1.0f; // initialize sum of series
for (int i = n - 1; i > 0; --i )
sum = 1 + x * sum / i;
return sum;
}
int main( void )
{
// change the number of x in for loop so you can have different range
for( float x = -2.0f; x <= 2.0f; x += 1.587 )
{
// change the frist parameter to have different n value
if(exponential(5, x) <= 0.001)
{
printf("e^x = %fn", exponential(5, x));
}
printf("e^x = %fn", exponential(5, x));
}
return 0;
}
但是每当我更改 for 循环中的项数时，它总是有一个大于 1 的错误。我应该如何更改它以使其错误小于10^-3？
谢谢！
我的理解是，为了提高精度，您需要考虑泰勒级数中的更多术语。 例如，考虑当您尝试通过泰勒级数计算 e(1(。
$e(x( = \sum\limits_{n=0}^{\infty} frac{x^n}{n！}$
我们可以考虑 e(1( 展开中的前几项：
n value of nth term sum
0 x^0/0! = 1 1
1 x^1/1! = 1 2
2 x^2/2! = 0.5 2.5
3 x^3/3! = 0.16667 2.66667
4 x^4/4! = 0.04167 2.70834
您应该注意到两件事，首先，随着我们添加更多项，我们越来越接近 e(1( 的确切值，并且连续总和之间的差异越来越小。
因此，e(x( 的实现可以写成：
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
typedef float (*term)(int, int);
float evalSum(int, int, int, term);
float expTerm(int, int);
int fact(int);
int mypow(int, int);
bool sgn(float);
const int maxTerm = 10; // number of terms to evaluate in series
const float epsilon = 0.001; // the accepted error
int main(void)
{
// change these values to modify the range and increment
float start = -2;
float end = 2;
float inc = 1;
for(int x = start; x <= end; x += inc)
{
float value = 0;
float prev = 0;
for(int ndx = 0; ndx < maxTerm; ndx++)
{
value = evalSum(0, ndx, x, expTerm);
float diff = fabs(value-prev);
if((sgn(value) && sgn(prev)) && (diff < epsilon))
break;
else
prev = value;
}
printf("the approximate value of exp(%d) is %fn", x, value);
}
return 0;
}
我用一个猜测，即我们不需要在扩展中使用超过十个项来达到所需的精度，因此内部 for 循环是我们循环 [0,10] 范围内 n 值的地方。
此外，我们有几行专门用于检查我们是否达到所需的精度。 首先，我计算当前评估与先前评估之差的绝对值，取绝对差值。 检查差异是否小于我们的 epsilon 值 (1E-3( 是提前退出循环的标准。 我还需要检查当前值和先前值的符号是否相同，因为计算 e(-1( 的值时有一些波动，这就是条件中的第一个子句正在做的事情。
float evalSum(int start, int end, int val, term fnct)
{
float sum = 0;
for(int n = start; n <= end; n++)
{
sum += fnct(n, val);
}
return sum;
}
这是我编写的一个实用程序函数，用于评估序列的前 n 项。 start 是起始值(此代码始终为 0(，end 是结束值。 最后一个参数是指向表示如何计算给定项的函数的指针。 在此代码中，fnct 可以是指向任何函数的指针，该函数采用整数参数并返回浮点数。
float expTerm(int n, int x)
{
return (float)mypow(x,n)/(float)fact(n);
}
埋藏在这个单行函数中是大部分工作发生的地方。 此函数表示 e(n( 的泰勒展开的闭合形式。 仔细查看上述内容，您应该能够看到我们正在计算 $\fract{x^n}{n！}$对于给定的 x 和 n 值。 作为提示，要执行余弦部分，您需要创建一个函数来计算 cos 的泰勒展开中的项的闭合。 这是由 $(-1(^n\fact{x^{2n}}{(2n(！} 给出的$.
int fact(int n)
{
if(0 == n)
return 1; // by defination
else if(1 == n)
return 1;
else
return n*fact(n-1);
}
这只是阶乘函数的标准实现。 这里没什么特别的。
int mypow(int base, int exp)
{
int result = 1;
while(exp)
{
if(exp&1) // b&1 quick check for odd power
{
result *= base;
}
exp >>=1; // exp >>= 1 quick division by 2
base *= base;
}
return result;
}
用于执行幂运算的自定义函数。 我们当然可以使用<math.h>的版本，但是因为我知道我们只会做整数幂，所以我们可以编写一个优化的版本。 提示：在执行余弦时，您可能需要使用 <math.h> 中的版本来处理浮点基。
bool sgn(float x)
{
if(x < 0) return false;
else return true;
}
一个非常简单的函数来确定浮点值的符号，返回 true 是正数，否则返回 true 是假的。
这段代码是在我的 Ubuntu-14.04 上使用 gcc 版本 4.8.4 编译的：
******@crossbow:~/personal/projects$ gcc -std=c99 -pedantic -Wall series.c -o series
******@crossbow:~/personal/projects$ ./series
the approximate value of exp(-2) is 0.135097
the approximate value of exp(-1) is 0.367857
the approximate value of exp(0) is 1.000000
the approximate value of exp(1) is 2.718254
the approximate value of exp(2) is 7.388713
使用 bc 给出的预期值为：
******@crossbow:~$ bc -l
bc 1.06.95
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.
e(-2)
.13533528323661269189
e(-1)
.36787944117144232159
e(0)
1.00000000000000000000
e(1)
2.71828182845904523536
e(2)
7.38905609893065022723
如您所见，这些值完全在您要求的公差范围内。 我把它留给做余弦部分的练习。
希望这有帮助，
-T
exp和cos的幂级数在实线上的任何地方收敛。对于任何有界区间，例如 [-pi/4, pi/4]或[-2, 2]，幂级数不仅逐点收敛，而且均匀收敛到exp和cos。
逐点收敛意味着对于该区域中的任何x和任何epsilon > 0，您可以选择足够大的N，以便从泰勒级数的前N项获得的近似值在真实值的epsilon范围内。然而，通过逐点收敛，N对于某些x可能很小，而对于其他来说可能很大，并且由于有无限多个x，因此可能没有有限的N来容纳它们。对于某些功能，这确实是有时会发生的事情。
均匀收敛意味着对于任何epsilon > 0，你可以选择一个足够大的N，以便该区域中每个x的近似值都在epsilon范围内。这就是你正在寻找的那种近似值，你可以保证这就是你所拥有的那种收敛。
原则上，你可以看看exp的一个证明，cos在任何有限域上都是均匀收敛的，坐下来说"如果我们取epsilon = .001，以及要成为......的区域会怎样"，然后用笔和纸计算N上的一些有限界限。然而，这些证明中的大多数在某些步骤中会使用一些不清晰的估计，因此您计算的N值将大于必要的值 - 可能要大得多。将它实现为变量会更简单，N然后像在代码中所做的那样使用 for 循环检查值，并查看您必须使其大小才能使误差小于 .001 到处。
所以，我无法判断你需要选择N的正确值是什么，但数学保证，如果你继续尝试更大的值，最终你会找到一个有效的值。