双精度不能在没有精度问题的情况下表示任何 2^n 个数字吗？n 是自然的

此代码：

double x = 2.0;
for(int i = 1 ; i<1024 ; i+=i) {
    Console.WriteLine( String.Format( "2^{0} = {1:F0}", i, x ) );
    x*=x;
}

输出：

2^1 = 2
2^2 = 4
2^4 = 16
2^8 = 256
2^16 = 65536
2^32 = 4294967296
2^64 = 18446744073709600000
2^128 = 340282366920938000000000000000000000000
2^256 = 115792089237316000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
2^512 = 13407807929942600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

我以为双打的公式是sign * 2 ^ exponent * fraction;说明我的情况;通过将fraction设置为 0.5，符号设置为正，并将exponent设置为 -1024 到 1023 之间的任何值，我可以显示exponent范围内的任何2^n数字;这个推论有什么问题？公式不完整吗？

double可以精确地表示 2 的幂，如以下代码（使用 Jon Skeet 的 DoubleConverter 类）所示：

Console.WriteLine(String.Format("2^{0} = {1}", i, DoubleConverter.ToExactString(x)));

对于 F0 说明符，为什么 .NET 设计人员选择在 15 个最重要的十进制数字之后舍入值？

我的猜测：显示确切的值（例如18446744073709551616）可能意味着double对所有这些数字都是精确的，而实际上double无法区分该值和18446744073709600000。此外，显示舍入值与指数表示法一致：1.84467440737096E+19。

No. 您的参数在"通过将指数设置为任何值"时失败。

exponent的范围有限，你不能代表

pow(2, 1000000)

即使 1000000 是一个自然数。

http://msdn.microsoft.com/en-us/library/678hzkk9.aspx

double 关键字表示存储 64 位浮点值的简单类型。下表显示了双精度类型的精度和近似范围。

Type
double
Approximate range
±5.0 × 10−324 to ±1.7 × 10308
Precision
15-16 digits

您的问题的答案是 IEEE 754 双精度数字是 64 位值：

1 位是符号
11 位表示指数
代表有效数（但由于有点深的魔力，符号实际上具有 53 位精度）。

它可以表示不超过 2⁶⁴ 个离散值 — 与 64 位整数相同（实际上由于 NaN、正零和负零等原因而更少）

然而，它的范围比 64 位整数的范围大得多：它可以表示大约从 ^10-308 到 10⁺³⁰⁸ 的十进制值......尽管精度不超过 15 到 17 位十进制数字。

浮点以精度换取范围。这是一种权衡。

有关更多详细信息，请参阅 IEEE-754 双精度二进制浮点格式。

更好的是，阅读David Goldberg在1991年的论文"每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识"：

抽象。浮点算术被许多人认为是深奥的学科。这是相当令人惊讶的，因为浮点在计算机系统中无处不在：几乎每种语言都有一个浮点数据类型;从PC到超级计算机的计算机有浮点加速器;大多数编译器将被调用来编译浮点不时算法;几乎每个操作系统都必须响应浮点溢出等异常情况。本文介绍了一个关于浮点运算方面的教程对计算机系统的设计者有直接影响。它从浮点背景开始表示和舍入误差，继续讨论IEEE浮点标准，最后举例说明计算机系统构建者如何更好地支持浮点数。

大卫·戈德堡。1991. "每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识"。 ACM Comput。苏尔夫。23，1（1991年3月），5-48。DOI=10.1145/103162.103163 http://doi.acm.org/10.1145/103162.103163

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