将埃尔米特矩阵分解为向量的乘积及其共轭转置

Question

假设我有一个(n x n)埃尔米特矩阵A，定义为(n x m)矩阵B的乘积，它是埃尔米特转置：

A = B*B'

矩阵B是已知的，它不是结构化的，并且是正确定的。

1) 如何将矩阵 A 分解为 u*u' 的乘积，其中 u 是长度为 n 的向量？

2)是否可以直接从B计算u，而无需先计算完整的矩阵A？

Answer 1

使用 B 的奇异值分解。 A 的特征向量是 B 的左奇异向量，A 的特征值是 B 奇异值的大小平方。 (在下面的方程中，' 表示共轭转置。

B=USV'

A = BB' = USV'(USV')' = USV'VS'U' = USS'U'

现在，通过 A 的特征分解，您可以将 A 表示为 uu' 的加权和，其中你是 U 的列(特征和权重(特征值)是 SS' 的对角线值。