在计算逻辑损失函数的值和梯度时避免数值溢出

Question

我目前正在尝试实现一种机器学习算法，该算法涉及 MATLAB 中的逻辑损失函数。不幸的是，由于数字溢出，我遇到了一些麻烦。

一般来说，对于给定的输入s，逻辑函数的值为：

 log(1 + exp(s))

逻辑损失函数的斜率为：

 exp(s)./(1 + exp(s)) = 1./(1 + exp(-s))

在我的算法中，s = X*beta的值.这里X是一个矩阵，每个数据点具有N个数据点和P特征(即 size(X)=[N,P] (，beta 是每个特征的 P 系数的向量，使得 size(beta)=[P 1] .

我对计算给定值 beta 的 Logistic 函数的平均值和梯度特别感兴趣。

逻辑函数 w.r.t 的平均值为 beta：

 L = 1/N * sum(log(1+exp(X*beta)),1)

逻辑函数 w.r.t. 的斜率与 b 值的平均值为：

 dL = 1/N * sum((exp(X*beta)./(1+exp(X*beta))' X, 1)'

请注意，size(dL) = [P 1].

我的问题是这些表达式不断产生数字溢出。问题实际上来自这样一个事实，即s>1000时exp(s)=Inf，exp(s)=0 s<-1000.

我正在寻找一种解决方案，使s可以在浮点运算中取任何值。理想情况下，我也非常感谢一个解决方案，它允许我以矢量化/有效的方式评估值和梯度。

Answer 1

以下近似值怎么样：

– 对于计算L，如果s很大，那么exp(s)将远大于 1：

1 + exp(s) ≅ exp(s)

因此

log(1 + exp(s)) ≅ log(exp(s)) = s.

如果s很小，则使用 exp(( 的泰勒级数

exp(s) ≅ 1 + s

并使用 log(( 的泰勒级数

log(1 + exp(s)) ≅ log(2 + s) ≅ log(2) + s / 2.

– 用于计算dL，用于大型s

exp(s) ./ (1 + exp(s)) ≅ 1

和小s

exp(s) ./ (1 + exp(s)) ≅ 1/2 + s / 4.

– 计算L的代码可能如下所示：

s = X*beta;
l = log(1+exp(s));
ind = isinf(l);
l(ind) = s(ind);
ind = (l == 0);
l(ind) = log(2) + s(ind) / 2;
L = 1/N * sum(l,1)

Answer 2

我找到了一篇关于这个问题的好文章。

切入很多单词，我们可以将论证简化为声明原始表达式

log(1 + exp(s)) 

可以改写为

log(exp(s)*(exp(-s) + 1))
= log(exp(s)) + log(exp(-s) + 1)
= s + log(exp(-s) + 1)

这可以阻止溢出的发生 - 它不会防止溢出，但是当溢出发生时，您就有了答案(即s(。你不能只使用它代替原来的，因为它仍然会给你带来问题。但是，我们现在有一个可以编写的函数的基础，该函数将是准确的，并且不会产生溢出/下溢：

function LL = logistic(s)
if s<0
  LL = log(1 + exp(s));
else
  LL = s + logistic(-s);

我认为这保持了相当好的准确性。

现在编辑您的问题的实质 - 将其矢量化，并允许计算斜率。让我们一次拿一个：

function LL = logisticVec(s)
  LL = zeros(size(s));
  LL(s<0) = log(1 + exp(s(s<0)));
  LL(s>=0) = s(s>=0) + log(1 + exp(-s(s>=0)));

要获得所需的平均值，请执行以下操作：

L = logisticVec(X*beta) / N;

斜率有点棘手;注意，我相信你的表达式中可能有错别字(缺少乘法符号(。

dL/dbeta = sum(X * exp(X*beta) ./ (1 + exp(X*beta))) / N;

如果我们将顶部和底部除以exp(X*beta)我们得到

dL = sum(X ./ (exp(-X*beta) + 1)) / N;

再一次，溢出已经消失，我们只剩下溢出 - 但由于下溢值1添加到其中，因此产生的错误是微不足道的。