Python 中具有特定特征值的特征状态

Question

我有一个非常大的矩阵，但我只想找到具有一个特定特征值的特征向量(超过 1(。如何在不解决 python 中该矩阵的整个特征值和特征向量的情况下获得它？

Answer 1

一种选择可能是使用移位反转方法。scipy中eigs的方法有一个可选参数sigma，使用该参数可以指定它应该搜索特征值的值：

import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import eigs
np.random.seed(42)
N = 10
A = np.random.random_sample((N, N))
A += A.T
A += N*np.identity(N)
#get N//2 largest eigenvalues
l,_ = eigs(A, N//2)
print(l)
#get 2 eigenvalues closest in magnitude to 12
l,_ = eigs(A, 2, sigma = 12)
print(l)

这会产生：

[ 19.52479260+0.j  12.28842653+0.j  11.43948696+0.j  10.89132148+0.j
  10.79397596+0.j]
[ 12.28842653+0.j  11.43948696+0.j]

编辑：如果您事先知道特征值，那么您可以尝试计算相应零空间的基础。例如：

import numpy as np
from numpy.linalg import eig, svd, norm
from scipy.sparse.linalg import eigs
from scipy.linalg import orth
def nullspace(A, atol=1e-13, rtol=0):
    A = np.atleast_2d(A)
    u, s, vh = svd(A)
    tol = max(atol, rtol * s[0])
    nnz = (s >= tol).sum()
    ns = vh[nnz:].conj().T
    return ns
np.random.seed(42)
eigen_values = [1,2,3,3,4,5]
N = len(eigen_values)
D = np.matrix(np.diag(eigen_values))
#generate random unitary matrix
U = np.matrix(orth(np.random.random_sample((N, N))))
#construct test matrix - it has the same eigenvalues as D
A = U.T * D * U
#get eigenvectors corresponding to eigenvalue 3
Omega = nullspace(A - np.eye(N)*3)
_,M = Omega.shape
for i in range(0, M):
    v = Omega[:,i]
    print(i, norm(A*v - 3*v))