Scipy在计算特征值和特征向量方面的问题

Question

我在玩微分算子的谱性质。感受事物我决定从计算具有周期边界条件的一维拉普拉斯算子的特征值和特征向量开始

Lap = 
[[-2, 1, 0, 0, ..., 1],
[ 1,-2, 1, 0, ..., 0],
[ 0, 1,-2, 1, ..., 0],
...
...
[ 0, 0, ..., 1,-2, 1],
[ 1, 0, ..., 0, 1,-2]]

所以我运行以下

import numpy as np
import scipy.linalg as scilin
N = 12
Lap = np.zeros((N, N))
for i in range(N):
Lap[i, i] = -2
Lap[i, (i+1)%N] = 1
Lap[i, (i-1)%N] = 1
eigvals, eigvecs = scilin.eigh(Lap)

其中

> print(eigvals)
[-4.00000000e+00 -3.73205081e+00 -3.73205081e+00 -3.00000000e+00
-3.00000000e+00 -2.00000000e+00 -2.00000000e+00 -1.00000000e+00
-1.00000000e+00 -2.67949192e-01 -2.67949192e-01  9.43689571e-16]

这正是我所期望的。然而，我决定验证这些特征值和特征向量是正确的。我最终得到的是

> (Lap - eigvals[0]*np.identity(N)).dot(eigvecs[0])
array([ 0.28544445,  0.69044928,  0.83039882,  0.03466493, -0.79854101,
-0.81598463, -0.78119579, -0.7445237 , -0.769496  , -0.79741997,
-1.09625463, -0.69683007])

我希望得到零向量。那么这里发生了什么？

Answer 1

正如@Warren的评论中所提到的，特征向量是eigvecs的列。在numpy索引中，eigvecs[0]表示eigvecs的第一行。修复它：

print((Lap-eigvals[0]*np.eye(N))@eigvecs[:,0])
[-6.66133815e-16  2.55351296e-15 -1.77635684e-15  1.11022302e-16
5.55111512e-16 -2.22044605e-16 -3.66373598e-15 -4.44089210e-16
7.77156117e-16 -1.11022302e-16 -1.66533454e-15  2.22044605e-15]

基本上都是0(由于精度问题，数字在那里(