Matlab中的高斯消去法

Question

我使用的是这本书中的matlab代码：http://books.google.com/books/about/Probability_Markov_chains_queues_and_sim.html?id=HdAQdzAjl60C这是代码：

    function [pi] = GE(Q)
    A = Q';
    n = size(A);
    for i=1:n-1
      for j=i+1:n
         A(j,i) = -A(j,i)/A(i,i);
      end
         for j =i+1:n
            for k=i+1:n
        A(j,k) = A(j,k)+ A(j,i) * A(i,k);
         end
      end
      end
     x(n) = 1;
      for i = n-1:-1:1
        for j= i+1:n
          x(i) = x(i) + A(i,j)*x(j);
        end
       x(i) = -x(i)/A(i,i);
      end
      pi = x/norm(x,1);

有没有我不知道的更快的代码？我已经调用这个函数数百万次了，而且花费了太多时间。

Answer 1

MATLAB有一整套内置的线性代数例程-类型为help slash、help lu或help chol，以开始了解在MATLAB中有效求解线性方程的一些常见方法。

在后台，这些函数通常调用优化的LAPACK/BLAS库例程，这通常是任何编程语言中执行线性代数的最快方法。与MATLAB这样的"慢"语言相比，如果它们比m文件实现快几个数量级，也就不足为奇了。

希望这能有所帮助。

Answer 2

除非您特别希望实现自己的反斜杠运算符，否则您应该使用Matlab的反斜杠操作符（mldivide），如果您需要因子，则应该使用lu。请注意，mldive可以做的不仅仅是高斯消去（例如，在适当的情况下，它可以做线性最小二乘）。

mldivide和lu使用的算法来自C和Fortran库，您自己在Matlab中的实现速度永远不会那么快。然而，如果您决心使用自己的实现并希望它更快，那么一种选择是寻找向量化实现的方法（也许从这里开始）。

需要注意的另一件事是：该问题的实现不进行任何旋转，因此其数值稳定性通常会比进行旋转的实现差，甚至对于一些非奇异矩阵也会失败。

高斯消去存在不同的变体，但它们都是O（n³）算法。如果任何一种方法比另一种方法更好，这取决于你的特定情况，并且是你需要更多调查的事情。

Answer 3

function x = naiv_gauss(A,b);
n = length(b); x = zeros(n,1);
for k=1:n-1 % forward elimination
      for i=k+1:n
           xmult = A(i,k)/A(k,k);
           for j=k+1:n
             A(i,j) = A(i,j)-xmult*A(k,j);
           end
           b(i) = b(i)-xmult*b(k);
      end
end
 % back substitution
x(n) = b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
   sum = b(i);
   for j=i+1:n
     sum = sum-A(i,j)*x(j);
   end
   x(i) = sum/A(i,i);
end
end

Answer 4

让我们假设Ax=d其中A和d是已知矩阵。我们希望使用嵌入在matlab中的"LU分解"函数将"A"表示为"LU"，因此：LUx=d这可以在matlab中完成如下操作：[L，U]=lu（A）其返回U中的上三角矩阵和L中的置换下三角矩阵，使得a＝LU。返回值L是下三角矩阵和置换矩阵的乘积。(https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/lu.html)

那么，如果我们假设Ly=d，其中y=Ux。由于x是未知的，因此y也是未知的，通过知道y，我们可以如下找到x：y=L\d；x=U\y

并且将溶液存储在x.中

这是求解线性方程组的最简单方法，前提是矩阵不是奇异的（即矩阵A和d的行列式不为零），否则，解的质量将不如预期，并可能产生错误的结果。

如果矩阵是奇异的，因此不能求逆，则应使用另一种方法来求解线性方程组。

Answer 5

对于n乘n矩阵的朴素方法（也就是没有行交换）：

function A = naiveGauss(A)
% find's the size
n = size(A);
n = n(1);
B = zeros(n,1);
% We have 3 steps for a 4x4 matrix so we have
% n-1 steps for an nxn matrix
for k = 1 : n-1     
    for i = k+1 : n
        % step 1: Create multiples that would make the top left 1
        % printf("multi = %d / %dn", A(i,k), A(k,k), A(i,k)/A(k,k) )
        for j = k : n
            A(i,j) = A(i,j) - (A(i,k)/A(k,k)) *  A(k,j);
        end
        B(i) = B(i) - (A(i,k)/A(k,k))  * B(k);
    end
end

Answer 6

function Sol = GaussianElimination(A,b)

[i,j] = size(A);
for j = 1:i-1

    for i = j+1:i

        Sol(i,j) = Sol(i,:) -( Sol(i,j)/(Sol(j,j)*Sol(j,:)));

    end

end

disp(Sol);

end

Answer 7

我认为你可以使用matlab函数rref:

[R，jb]=rref（A，tol）

它产生了一个简化行梯形的矩阵。就我而言，这不是最快的解决方案。下面的解决方案在我的情况下更快了大约30%。

function C = gauss_elimination(A,B)
i = 1; % loop variable
X = [ A B ]; 
[ nX mX ] = size( X); % determining the size of matrix  
while i <= nX % start of loop 
    if X(i,i) == 0 % checking if the diagonal elements are zero or not
        disp('Diagonal element zero') % displaying the result if there exists zero 
        return
    end
    X = elimination(X,i,i); % proceeding forward if diagonal elements are non-zero
    i = i +1;
end
C = X(:,mX);
function X = elimination(X,i,j)
% Pivoting (i,j) element of matrix X and eliminating other column
% elements to zero
[ nX mX ] = size( X); 
a = X(i,j);
X(i,:) = X(i,:)/a;
for k =  1:nX % loop to find triangular form 
    if k == i
        continue
    end
    X(k,:) = X(k,:) - X(i,:)*X(k,j); 
end