MATLAB中的高斯-塞德尔方法

Question

我正在尝试在MATLAB中实现高斯-塞德尔方法。但我的代码中有两个主要错误，我无法修复它们：

1. 我的代码在小矩阵上收敛得很好，但在大矩阵上从不收敛。

2. 该代码进行冗余迭代。如何防止重复？

维基百科上的高斯-塞德尔方法。

N=5;
A=rand(N,N);
b=rand(N,1);
x = zeros(N,1);
sum = 0;
xold = x;
tic
for n_iter=1:1000
for i = 1:N
for j = 1:N
if (j ~= i)
sum = sum + (A(i,j)/A(i,i)) * xold(j);
else
continue;
end
end
x(i) = -sum + b(i)/A(i,i);
sum = 0;
end
if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)
break;
end
xold = x;
end
gs_time=toc;
prompt1='Gauss-Seidel Method Time';
prompt2='x Matrix';
disp(prompt2);
disp(x);
disp(prompt1);
disp(gs_time);

Answer 1

首先，一般性。Gauß-Seidel和Jacobi方法仅适用于对角占优矩阵，而不适用于一般随机矩阵。因此，为了获得正确的测试示例，您需要实际建设性地确保该条件，例如通过

A = rand(N,N)+N*eye(N)

或类似的。

否则，该方法将在某些或所有组件中向无穷大发散。

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现在来看一下您的实现中的其他一些奇怪之处。是什么

if(abs(x(i)-xold(j))<0.001)

刻薄？请注意，此指令在循环外，其中i和j是迭代变量，因此索引值可能是未定义的。由于惯性，它们会意外地都具有值N，所以这个标准至少有点道理。

您想要测试的是向量作为一个整体的差的一些范数，因此使用sum(abs(x-xold))/N或max(abs(x-xold))。在右侧，您可能希望乘以应用于x的相同范数构造，以便在考虑问题规模的情况下测试相对误差。

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根据给定代码中的指令，您正在实现Jacobi迭代，首先计算所有更新，然后推进迭代向量。对于Gauß-Seidel变体，您需要将单个组件替换到位，以便立即使用新计算的值。

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此外，您可以缩短/简化内环

xold = x;
for i = 1:N
sum = b(i);
for j = 1:N
if (j ~= i)
sum = sum - A(i,j) * x(j);
end
end
x(i) = sum/A(i,i);
end
err = norm(x-xold)

或者使用matlab 的语言功能更短

xold = x
for i = 1:N
J = [1:(i-1) (i+1):N];
x(i) = ( b(i) - A(i,J)*x(J) )/A(i,i);
end   
err = norm(x-xold)

Answer 2

%Gauss-seidal method for three equations
clc;
x1=0;
x2=0;
x3=0;
m=input('Enter number of iteration');
for i=1:1:m
x1(i+1)=(-0.01-0.52*x2(i)-x3(i))/0.3
x2(i+1)=0.67-1.9*x3(i)-0.5*x1(i+1)
x3(i+1)=(0.44-0.1*x1(i+1)-0.3*x2(i+1))/0.5
er1=abs((x1(i+1)-x1(i))/x1(i+1))*100
er2=abs((x2(i+1)-x2(i))/x2(i+1))*100
er3=abs((x3(i+1)-x3(i))/x3(i+1))*100
if er1<=0.01
er2<=0.01
er3<=0.01
break;
end
end