有人知道为什么GCC/Clang在下面的代码示例中不会使用test1来简单地使用RCPPS指令时使用快速数学选项吗?是否有另一个编译器标志来生成此代码?
typedef float float4 __attribute__((vector_size(16)));
float4 test1(float4 v)
{
return 1.0f / v;
}
您可以在这里看到编译后的输出:https://goo.gl/jXsqat
因为RCPPS的精度比float的除法精度低很多
启用该优化的选项不适合作为-ffast-math的一部分。
gcc手册的x86目标选项说实际上有一个选项(与-ffast-math)确实让gcc使用它们(与Newton-Raphson迭代-快速矢量化rsqrt和SSE/AVX的倒数取决于精度/Newton Raphson与SSE2 -有人能解释我这3行- SIMD和标量基本上每条指令具有相同的性能，牛顿迭代数学是相同的):
-mrecip该选项支持使用RCPSS和RSQRTSS指令(以及它们的矢量化变体RCPPS和RSQRTPS)，并附带一个附加功能牛顿-拉夫森步来提高精度，而不是DIVSS和SQRTSS(以及它们的矢量化变体)用于单精度浮点数参数。这些指令仅在以下情况下生成-funsafe-math-optimizations与- limited -math-only和-fno-trapping-math一起启用。注意，虽然序列的吞吐量大于非互易指令的吞吐量，则序列的精度最多可以降低2个ulp(即1.0的倒数等于0.99999994)注意GCC在RSQRTSS(或RSQRTPS)方面已经使用- fast-math(或上述选项组合)实现了1.0f/sqrtf(x)，不需要-mrecip
还需要注意的是，GCC发出的上述序列带有额外的Newton-Raphson步骤，用于向量化的单浮点除法和矢量化sqrtf(x)已经使用- fast-math(或上述选项)组合)，不需要-mrecip。
-mrecip=opt此选项控制可以使用哪些互反估计指令。Opt是一个逗号分隔的选项列表，前面可能有差一个!'来反转选项:
’all’ Enable all estimate instructions. ‘default’ Enable the default instructions, equivalent to -mrecip. ‘none’ Disable all estimate instructions, equivalent to -mno-recip. ‘div’ Enable the approximation for scalar division. ‘vec-div’ Enable the approximation for vectorized division. ‘sqrt’ Enable the approximation for scalar square root. ‘vec-sqrt’ Enable the approximation for vectorized square root.因此，例如-mrecip=all，!SQRT允许所有的倒数近似，除了平方根。
请注意，英特尔的新Skylake设计进一步提高了FP分区性能，达到8-11c延迟，1/3c吞吐量。(或者对于256b向量每5c吞吐量一个，但对于vdivps的延迟相同)。他们拓宽了分隔线，因此AVX vdivps ymm现在与128b向量的延迟相同。
(SnB到Haswell以大约两倍的延迟/食谱吞吐量执行256bdiv和sqrt，所以他们显然只有128b宽的除法。)Skylake还对这两种操作进行了更多的流水线操作，因此大约有4个div操作可以在飞行中进行。SQRT也更快。
所以几年后，一旦Skylake广泛传播，只有当你需要多次除以相同的东西时，才值得做rcpps。rcpps和几个fma可能具有稍高的吞吐量，但延迟更差。此外，vdivps只是一个单一的向上;因此，更多的执行资源将可用于在分割的同时发生的事情。
AVX512的初始实现将是什么样子还有待观察。假设rcpps和Newton-Raphson迭代的几个fma将是一个胜利，如果FP划分性能是一个瓶颈。如果上层吞吐量是一个瓶颈，并且在除数运行期间有大量其他工作要做，那么vdivps zmm可能仍然是好的(当然，除非重复使用相同的除数)。
浮点除法和浮点乘法有更多关于FP吞吐量和延迟的信息。
我在我的一个应用程序中试验了一个浮点数学密集型热路径，并发现了类似的东西。我通常不看编译器发出的指令，所以我有点惊讶，并深入研究了数学细节。
下面是gcc生成的指令集，由我用进位计算注释:
test1(float __vector): ; xmm0 = a
rcpps xmm1, xmm0 ; xmm1 = 1 / xmm0 = 1/a
mulps xmm0, xmm1 ; xmm0 = xmm0 * xmm1 = a * 1/a
mulps xmm0, xmm1 ; xmm0 = xmm0 * xmm1 = a * (1/a)^2
addps xmm1, xmm1 ; xmm1 = xmm1 + xmm1 = 2 * (1/a)
subps xmm1, xmm0 ; xmm1 = xmm1 - xmm0 = 2 * (1/a) - a * (1/a)^2
movaps xmm0, xmm1 ; xmm0 = xmm1 = 2 * (1/a) - a * (1/a)^2
ret
这是怎么回事?为什么要浪费额外的4条指令来计算一个数学上等同于倒数的表达式呢?
嗯，rcpps指令只是一个近似的倒数。其他算术指令(mulps, addps, subps)精确到单精度。我们把r(x)写成近似倒数函数。最后变成了y = 2*r(a) - a*r(a)^2。如果我们用eps作为相对误差替换r(x) = (1 + eps) * (1/x)，我们得到:
y = 2 * (1 + eps) * (1/a) - a * (1 + eps)^2 * (1/a)^2
= (2 + 2*eps - (1 + eps)^2) * (1/a)
= (2 + 2*eps - (1 + 2*eps + eps^2)) * (1/a)
= (1 - eps^2) * (1/a)
rcpps的相对误差小于1.5 * 2^-12，所以eps <= 1.5 * 2^-12，所以:
eps^2 <= 2.25 * 2^-24
< 1.5 * 2^-23
那么，这只是一些神奇的指令序列，碰巧能让我们获得额外的精度吗?不完全是。它是基于牛顿的方法(我收集被称为牛顿-拉夫森的人与汇编工作很多)。
牛顿法是一种寻根法。给定某个函数f(x)，它找到f(x) = 0的近似解，通过从近似解x_0开始并迭代改进它。牛顿迭代的表达式为:
x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
在我们的例子中，我们可以将寻找a的倒数1/a重新表述为寻找函数f(x) = a*x - 1的根，并求导f'(x) = a。将其代入牛顿迭代方程，得到:
x_n+1 = x_n - (a*x_n - 1) / a
两个观察:
在这种情况下，牛顿迭代实际上给了我们一个精确的结果，而不仅仅是一个更好的近似值。这是有道理的，因为牛顿的方法是在
x_n周围对f进行线性近似。在这种情况下，f是完全线性的，所以近似是完美的。然而…计算牛顿迭代需要我们除以
a，这是我们试图近似的精确计算。这就造成了一个循环问题。我们通过修改牛顿迭代来打破这个循环，使用我们的近似倒数x_n来除以a:x_n+1 = x_n - (a*x_n - 1) * x_n ~= x_n - (a*x_n - 1) / a
这个迭代可以很好地工作，但从向量数学的角度来看它不是很好:它需要减去1。要在矢量数学中做到这一点，需要准备一个带有1序列的矢量寄存器。这需要一个额外的指令和一个额外的寄存器。
我们可以重写迭代来避免这种情况:
x_n+1 = x_n - (a*x_n - 1) * x_n
= x_n - (a*x_n^2 - x_n)
= 2*x_n - a*x_n^2
现在替换x_0 = r(a)，我们从上面恢复表达式:
y = x_1 = 2*r(a) - a*r(a)^2