这个函数解三次方程有什么问题?

Question

我正在使用Python 2和维基百科文章"Cubic function"中给出的相当简单的方法。为了创建标题中提到的函数，我必须定义立方根函数，这也可能是一个问题。

# Cube root and cubic equation solver
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from __future__ import division
import cmath
from cmath import log, sqrt
def cbrt(x):
    """Computes the cube root of a number."""
    if x.imag != 0:
        return cmath.exp(log(x) / 3)
    else:
        if x < 0:
            d = (-x) ** (1 / 3)
            return -d
        elif x >= 0:
            return x ** (1 / 3)
def cubic(a, b, c, d):
    """Returns the real roots to cubic equations in expanded form."""
    # Define the discriminants
    D = (18 * a * b * c * d) - (4 * (b ** 3) * d) + ((b ** 2) * (c ** 2)) - 
    (4 * a * (c ** 3)) - (27 * (a ** 2) * d ** 2)
    D0 = (b ** 2) - (3 * a * c)
    i = 1j  # Because I prefer i over j
    # Test for some special cases
    if D == 0 and D0 == 0:
        return -(b / (3 * a))
    elif D == 0 and D0 != 0:
        return [((b * c) - (9 * a * d)) / (-2 * D0), ((b ** 3) - (4 * a * b * c)
        + (9 * (a ** 2) * d)) / (-a * D0)]
        else:
            D1 = (2 * (b ** 3)) - (9 * a * b * c) + (27 * (a ** 2) * d)
            # More special cases
            if D != 0 and D0 == 0 and D1 < 0:
                C = cbrt((D1 - sqrt((D1 ** 2) - (4 * (D0 ** 3)))) / 2)
            else:
                C = cbrt((D1 + sqrt((D1 ** 2) - (4 * (D0 ** 3)))) / 2)
                u_2 = (-1 + (i * sqrt(3))) / 2
                u_3 = (-1 - (i * sqrt(3))) / 2
                x_1 = (-(b + C + (D0 / C))) / (3 * a)
                x_2 = (-(b + (u_2 * C) + (D0 / (u_2 * C)))) / (3 * a)
                x_3 = (-(b + (u_3 * C) + (D0 / (u_3 * C)))) / (3 * a)
                if D > 0:
                    return [x_1, x_2, x_3]
                else:
                    return x_1

我发现这个函数能够解一些简单的三次方程:

print cubic(1, 3, 3, 1)
-1.0

不久之前，我已经让它可以解有两个根的方程。我刚重写了一遍，现在就乱了套。例如，这些系数是(2x -4)(x + 4)(x + 2)的展开形式，它应该返回[4.0，-4.0，-2.0]或类似的东西:

print cubic(2, 8, -8, -32)
[(-4+1.4802973661668753e-16j), (2+2.9605947323337506e-16j), (-2.0000000000000004-1.1842378929335002e-15j)]

这是一个更多的数学或编程错误我做?

更新:谢谢大家的回答，但是这个函数的问题比我到目前为止迭代的要多。例如，我经常得到与立方根函数有关的错误:

print cubic(1, 2, 3, 4)  # Correct solution: about -1.65
...
    if x > 0:
TypeError: no ordering relation is defined for complex numbers
print cubic(1, -3, -3, -1)  # Correct solution: about 3.8473
    if x > 0:
TypeError: no ordering relation is defined for complex numbers

Answer 1

Wolfram Alpha确认最后一个立方的根确实是

(-4, -2, 2)

而不是你说的

…它应该返回[4.0, -4.0, -2.0]

尽管存在(我认为)错字，你的程序给出了

[(-4+1.4802973661668753e-16j), (2+2.9605947323337506e-16j), (-2.0000000000000004-1.1842378929335002e-15j)]

对于10**(-15)的精度，是与正确解完全相同的根。小的虚数部分可能是由于舍入，正如其他人所说的那样。

请注意，如果您使用像卡尔达诺这样的解决方案，您必须使用精确的算术才能始终正确地取消。这就是为什么像MAPLE或Mathematica这样的程序存在的原因之一，从公式到实现通常是脱节的。

在纯python中只得到一个数字的实部，调用.real。例子:

a = 3.0+4.0j
print a.real
>> 3.0

Answer 2

如果你想用数字来解决这个问题，hook的答案是可行的。您也可以使用sympy:

象征性地执行此操作。

>>> from sympy import roots
>>> roots('2*x**3 + 8*x**2 - 8*x - 32')
{2: 1, -4: 1, -2: 1} 

给出根和它们的多重性。

Answer 3

您正在使用整数值- Python不会自动将其转换为浮点数。更通用的解决方案是将函数中的系数写成浮点数——18.0而不是18，等等。那就行了插图-来自代码:

>>> 2**(1/3)
1
>>> 2**(1/3.)
1.2599210498948732
>>>