在 Python 中计算费德勒向量

Question

如何在 Python 中找到拉普拉斯 （L） 的字段向量？

我可以使用以下方法获取特征值和特征向量：特征值， 特征向量 = linalg.eig（L）

我假设 python 不会按顺序返回特征值。

我是否采用第二大特征值，然后将其与相应的特征向量（索引中的匹配）匹配？

对特征值进行排序时，如何处理负值？排序是按绝对量级排列的吗？

感谢您的帮助

Answer 1

好吧，我不知道所涉及的数学，但我会尽力而为。

如果您检查文档，linalg.eig实际上会以与其相应特征值相同的顺序返回特征向量。

我可能会做这样的事情：

w, v = linalg.eig(L)
seen = {}
unique_eigenvalues = []
for (x, y) in zip(w, v):
    if x in seen:
        continue
    seen[x] = 1
    unique_eigenvalues.append((x, y))
fiedler = sorted(unique_eigenvalues)[1][1]

默认情况下，Python 按第一个元素排序

元组，然后按第二个元素排序，依此类推，数字按照您期望的方式排序（-2 <-1 等）。 当然，这假设您的特征值并不复杂。

此外，我假设可能存在重复的特征值，并且 Fiedler 向量是与第二小的唯一特征值相关联的特征向量。

Answer 2

只是一个额外的解决方案：

import numpy as np
import scipy.linalg as la
eig_values, eig_vectors = la.eig(laplacian)
fiedler_pos = np.where(eigvalues.real == np.sort(eig_values.real)[1])[0][0]
fiedler_vector = np.transpose(eig_vectors)[fiedler_pos]
print("Fiedler vector: " + str(fieder_vector.real))

解释：费德勒向量具有最小的非零特征值。因此，我们需要对特征值进行排序，并取第二个最小的特征值（顺便说一下，验证零元素是否也首先存在是有意义的）。这是在np.sort(eigvalues.real)[1]中完成的，正如你所看到的排序（实数）数组的第二个元素被采用.
现在我们只需要匹配原始数组中的值并获取其位置。这可以通过np.where()命令方便地完成。结果是在括号中定义的所有已发现实例的数组，我们从中获取第一个实例。fiedler_pos变量现在包含特征向量中的费德勒向量位置.
为了得到向量本身，一种方法是在相关位置使用转置的特征向量矩阵。