我正在研究相干噪声的一些不同实现（我知道有库，但这主要是为了我自己的启发和好奇）以及如何使用它，我对最初的Perlin噪声有一个问题。
根据这个经常链接的数学常见问题解答，输出范围将在-1和1之间，但我不明白这个值是如何在这个范围内的。
据我所知，算法基本上是这样的：每个网格点都有一个长度为1的相关随机梯度向量。然后，对于每个点，对于周围的所有四个网格点，计算随机梯度和从该网格点出发的向量的点积。然后使用一条奇特的缓和曲线和线性插值将其降低到一个值。
但是，我的问题是：这些点积偶尔会在[-1, 1]的范围之外，因为你最终在点积之间进行线性插值，这不意味着最终值有时会在[-1, 1]的范围之外吗？
例如，假设其中一个随机向量是(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)（长度为1）和(0.8, 0.8)（在单位平方中），则得到大致为1.131的结果。如果在线性插值中使用该值，则生成的值完全有可能大于1。事实上，在我的直接实现中，这种情况经常发生。
我是不是遗漏了什么？
作为参考，这里是我的Java代码。Vec是一个简单的类，用于进行简单的二维矢量运算，fade()是缓和曲线，lerp()是线性插值，gradient(x, y)将该网格点的梯度作为Vec。gridSize变量提供以像素为单位的网格大小（类型为double）：
public double getPoint(int x, int y) {
Vec p = new Vec(x / gridSize, y / gridSize);
Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));
int x0 = (int)d.x,
y0 = (int)d.x;
double d00 = gradient(x0 , y0 ).dot(p.sub(x0 , y0 )),
d01 = gradient(x0 , y0 + 1).dot(p.sub(x0 , y0 + 1)),
d10 = gradient(x0 + 1, y0 ).dot(p.sub(x0 + 1, y0 )),
d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));
double fadeX = fade(p.x - d.x),
fadeY = fade(p.y - d.y);
double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
i2 = lerp(fadeX, d01, d11);
return lerp(fadeY, i1, i2);
}
编辑：这是生成随机梯度的代码：
double theta = gen.nextDouble() * 2 * Math.PI;
gradients[i] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));
其中gen是java.util.Random。
你有y0 = (int)d.x;，但你指的是d.y。这肯定会影响您的输出范围，这也是您看到如此大的超出范围值的原因。
也就是说，佩林噪声的输出范围是而不是实际上[-1，1]。虽然我自己对数学不太确定（我一定越来越老了），但这场相当长的讨论得出实际范围是[-sqrt（n）/2，sqrt（n）/2]，其中n是维度（在您的情况下是2）。因此，你的2D Perlin噪声函数的输出范围应该是[0.707，0.707]。这在某种程度上与d和插值参数都是p的函数这一事实有关。如果你通读了这篇讨论，你可能会找到你想要的确切解释（尤其是第7篇文章）。
我正在使用以下程序测试您的实现（我从您的示例中截取了这些程序，请原谅gridCells和gridSize的奇怪使用）：
import java.util.Random;
public class Perlin {
static final int gridSize = 200;
static final int gridCells = 20;
static final Vec[][] gradients = new Vec[gridCells + 1][gridCells + 1];
static void initializeGradient () {
Random rand = new Random();
for (int r = 0; r < gridCells + 1; ++ r) {
for (int c = 0; c < gridCells + 1; ++ c) {
double theta = rand.nextFloat() * Math.PI;
gradients[c][r] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));
}
}
}
static class Vec {
double x;
double y;
Vec (double x, double y) { this.x = x; this.y = y; }
double dot (Vec v) { return x * v.x + y * v.y; }
Vec sub (double x, double y) { return new Vec(this.x - x, this.y - y); }
}
static double fade (double v) {
// easing doesn't matter for range sample test.
// v = 3 * v * v - 2 * v * v * v;
return v;
}
static double lerp (double p, double a, double b) {
return (b - a) * p + a;
}
static Vec gradient (int c, int r) {
return gradients[c][r];
}
// your function, with y0 fixed. note my gridSize is not a double like yours.
public static double getPoint(int x, int y) {
Vec p = new Vec(x / (double)gridSize, y / (double)gridSize);
Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));
int x0 = (int)d.x,
y0 = (int)d.y;
double d00 = gradient(x0 , y0 ).dot(p.sub(x0 , y0 )),
d01 = gradient(x0 , y0 + 1).dot(p.sub(x0 , y0 + 1)),
d10 = gradient(x0 + 1, y0 ).dot(p.sub(x0 + 1, y0 )),
d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));
double fadeX = fade(p.x - d.x),
fadeY = fade(p.y - d.y);
double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
i2 = lerp(fadeX, d01, d11);
return lerp(fadeY, i1, i2);
}
public static void main (String[] args) {
// loop forever, regenerating gradients and resampling for range.
while (true) {
initializeGradient();
double minz = 0, maxz = 0;
for (int x = 0; x < gridSize * gridCells; ++ x) {
for (int y = 0; y < gridSize * gridCells; ++ y) {
double z = getPoint(x, y);
if (z < minz)
minz = z;
else if (z > maxz)
maxz = z;
}
}
System.out.println(minz + " " + maxz);
}
}
}
我看到的值在[0.707，0.707]的理论范围内，尽管我通常看到的值介于-0.6和0.6之间；这可能只是值分布和低采样率的结果。
计算点积时，可能会得到-1+1范围之外的值，但在插值步骤中，最终值会落在-1+1范围内。这是因为被插值的点乘积的距离矢量指向插值轴的相反方向。在最后一次插值期间，输出不会超过-1+1范围。
Perlin噪声的最终输出范围由梯度向量的长度定义。如果我们谈论2D噪声，并且我们的目标是输出范围为-1+1，那么梯度向量的长度应该是sqrt（2）（~14142）。混合这些向量（1，1）（-1，1）、（1，-1）（-1、-1）和（1，0）（0，1）和（-1，0）是常见的错误。在这种情况下，最终输出范围仍然是-1+1范围，但-0.707+0.707范围内的值将更频繁。为了避免这个问题，（1，0）（0，1）（-1，0），（0，-1）向量应该替换为（sqrt（2），0）。