很难理解递归关系的解决方案

Question

所以问题是A0=4，A(n)=A(n-1)-n到目前为止，我得到的是A(1)=3，A(2)=1，A(3)=-2，A(4)=-6。我知道如何得到这些数字，如果我想的话，我可以无限上升。但我很难理解找到解决方案的逻辑。

谢谢大家！

Answer 1

这里有一个负版本的算术序列。我在研究关系时使用的是试图理解输出A(1)=3，A(2)=1，A(3)=-2，A(4)=-6之间的关系。。。。所以我看A(1)=3，A(2)=1，A(3)=-2……我问自己每一步都发生了什么，然后进入下一步。对于A(2)n=2，我必须取A(1)=3并减去n=2的值。正如你所知，只要你想走多远，这种模式就会坚持下去。因此，现在我们有了这个模式来获得序列a(n)的第n个元素相对于前一个值a(n-1)的值，要解决递归关系，我们必须着眼于大局，对结构有一点直觉。编辑：

- given n=0 A(0)= 4
- n=1 A(1)=A(0)-1 = 4-1
- n=2 A(2)=(4-1)-2 = 4 -(1-2) 
- n=3 A(3)=((4-1)-2)-3 = 4 -(1-2-3)
- n=4 A(4)=(((4-1)-2)-3)-4 = 4-(1-2-3-4)

所以我们可以看到，4是一个常数，我们总是从中减去-1到-n的∑。这就是一点点记忆发挥作用的地方。我们知道算术序列看起来像1的∑，从n=到(n(n+1))/2，所以我们可以猜测，如果我们在这里加一个负号，我们会得到负版本。让我们试试4-(((n(n+1)/2)。这就是答案。我希望算术序列更直观，但你会想记住它和几何序列，因为它们经常出现。

如果你还有其他问题，请告诉我。

Answer 2

A(n) = A(n - 1) - n
A(0) = 4
n    A(n)
0    4
1    A(0) - 1 = 4 - 1
2    A(1) - 2 = 4 - 1 - 2
3    A(2) - 3 = 4 - 1 - 2 - 3
...
k    A(k-1) - 3 = 4 - 1 - 2 - ... - k
= 4 - (1 + 2 + ... + k)
= 4 - [(1+k) + (2+k-1) + ... + (k/2 + k/2+1)], if k is even
4 - [(1+k) + (2+k-1) + ... + (k/2 + 0.5)], if k is odd
= 4 - [(k+1) + (k+1) + ... + (k+1)], if k is even
4 - [(k+1) + (k+1) + ... + (k+1)/2], if k is odd
= 4 - (k/2)(k+1), if k is even
4 - (k/2-1)(k+1) + (k+1)/2, if k is odd
= 4 - (k/2)(k+1), if k is even
4 - (k/2)(k+1), if k is odd
= 4 - (k/2)(k+1), for all k